Впрямоугольном треугольнике авс через точку g лежащую на гипотенузе проведены прямые gf и gd параллельные катетам ас и вс соответственно. периметр треугольника gbf равен 12см а периметр треугольника dga равен 4см. найдите периметр треугольника авс. )

Из условия равенства отрезков дс и  сf, а также dс и gf определяем , что  периметр треугольника авс равен сумме периметров  треугольника gbf и  треугольника dga: равс = 4 + 12 = 16 см.

Пусть угол при основании b, длина основания l, радиусы r и r; 2*b = 180 - a; b = 90 - a/2; b/2 = 45 - a/4; l = 2*r*sin(a); теорема синусов. r /(l/2) = tg(b/2); центр вписанной окружности лежит на биссектрисе.   r = r*sin(a)*tg(b/2); r/r = sin(a)tg(45 - a/4); это уже ответ : его можно  . если умножить и разделить на 2*соs(45 - a/4); то r/r = sin(a)*(2*sin(45 - a/4)*cos(45 - a/4))/((2*(cos(45 - a/4))^2) - 1 + 1); r/r = sin(a)*sin(90-a/2)/(cos(90 - a/2)+1) = sin(a)*cos(a/2)/(sin(a/2)+1); r/r = 2*sin(a/2)*(cos(a/2))^2/(sin(a/2)+1) = 2*sin(a/2)*(1 - (sin(a/2))^2)/(sin(a/2)+1);   r/r = 2*sin(a/2)*(1 -  sin(a/2));   если a = 60°; a/2 = 30°; sin(a/2) = 1/2; r/r = 1/2; как и должно быть.

Первое, что приходит на ум в случае с квадратом. любой треугольник либо является прямоугольным, либо может быть представлен, как два прямоугольных треугольников с общим катетом, который можно считать высотой. прямоугольный треугольник можно достроить до прямоугольника, при этом очевидно, что искомый треугольник будет занимать ровно половину этого прямоугольника, а значит и его площадь будет равна половине площади прямоугольника. sпр = произведению сторон, sпр тр = 1\2 *sпр = 1\2 *произведение катетов. любой из катетов по сути является высотой, а второй - основанием. в случае, когда искомый треугольник, как оговаривалось выше, не является прямоугольным, а представляется в виде двух прямоугольных, не трудно заметить, что две стороны прямоугольных, а именно их основание составляют основание исходного, а высоты этих треугольников с высотой исходного. нагляднее показать формулой: s не пр = sпр1 + sпр2 = 1\2 *а*b + 1\2*b*c = 1\2*b*(a+c), где b - высота, а (a+c) - основание исходного треугольника. понимаю, что в тексте не , но постарался донести идею. трапеция аналогично представляется в виде двух треугольников и прямоугольника. затем проводится аналогичное доказательство. вот.