Точки m, n и p лежат на сторонах ав, вс, ас треугольника авс, причем am/ab= bn /bc= cp /ca = 1/ 3 . прямые см, an, bp, пересекаясь, ограничивают треугольник, площадь которого равна s. найдите площадь треугольника abc

            положим что треугольник      площадь  котрого равна       

по теореме менелая  , получим    соотношения     

допустим угол между сторонами меньшего треугольника равны 

 

 

 

             

то есть площадь треугольника

               

Проведем hs  ||  ab. обозначим   sh=m sp=c треугольники amc и shc подобны как и треугольники abp   и shp. дальше просто поиграем с отношениями: x/m=3z/(z+c) 3x/m=2z/c поделим одно на второе: 3=2/c *  (z+c)/3=2(z+c)/3c   9c=2z+2c 2z=7c c=2z/7 mc/hc=3z/(z+c)=3z/(z+2z/7)=3/(9/7))=7/3 ну еще   для достижения успеха нужно найти   отношения: bh/hf и mh/hg. в   целом это та же   игра отношений. хотя иногда эта   игра бывает такой сложной,что   средний ум бы с ней   не справился, что делает сам   процесс   игры   с отношениями весьма увлекательным   занятием : ) пусть bp=j   bp/hp=2z/c=2z/(2z/7)=7 hp=j/7. в силу симметрии (на каждой   стороне те же   отношения ) bp/bf=7/3 bf=3j/7 откуда: fh=j-j/7-3j/7=3j/7 hb=j-j/7=6j/7 bh/fh=6/7*7/3=2  : )  осталось еще 1   отношение mh/hg но   в целом   из симметрии   выходит   что   по   тем же принципам:   mc=k   mg=k/7 hg=3k/7 : ) mh/hg=4/7 *7/3=4/3 ну   вот и вся осталось поиграть   с площадями. : ) sbmh=4/3*2*s=8/3 s sbmc=8/3*7/4s=14s/3 sabc=14s/3*3/2=7s сошлось : ) я   саму игру площадей не расписывал   если нужно напишу. .

Попробую. 1. дано:   δавс, ав> bc> ac. один из углов треугольника равен 120 градусов,а другой 40 градусовнайти: у глы a,b,cрешение: сумма углоа треугольника = 180 градусов. значит третий угол = 180 - (120+40) = 20 градусов.значит углы в треугольнике равны 120, 40, 20.в треугольнике напротив большей стороны лежит большй угол. напротив ав лежит угол с, значит    ∠с=120.напротив вс лежит угол а, значит ∠а=40 напротив ас - угол в, значит ∠в = 20 ответ: ∠в=20, ∠а=40, ∠с=120 . дано:   δавс,  ∠а=50°,  ∠с=12*∠в найти:   ∠в,  ∠с решение: сумма углов треугольника = 180°. значит  ∠в+∠с=180-∠а = 180°-50°=130° пусть  ∠в-х, тогда  ∠с=12х, тогда  ∠в+∠с=12х+х=12х, что равно 130° 13х=130 х=10° -  ∠в 12*10°=120°-∠с ответ: 10° и 120°

Если равны углы при диагонали, то один из треугольников, образуемых данной диагональю, является равнобедренным. следовательно большее основание равно обеим боковым сторонам. пусть основание - х.p = 3+х+х+х3+3х = 423х = 39х = 13 - большее основание.меньшая часть основания, отсекаемого высотой, равна: (13-3): 2 = 5  находим  высоту равнобедренной трапеции - по теореме пифагора в треугольнике, составленным высотой, боковой гранью и меньшей частью основания, отсекаемой этой высотой.h =  √( 13 ²-5²) =  √144 = 12 находим площадь: s = 1\2(a+b)*h = 1\2(3+13)*12 = 192\2 = 96