Впрямоугольнике abcd биссектриса угла а пересекает сторону о.докажите, что треугольник аво - равнобедренный

Ничего сложного. так как у прямоугольника все углы прямые, то биссектриса делит прямой угол на углы по 45 градусов. в треугольнике аво угол вао равен 45, а угол в равен 90 градусов изначально. по сумме углов треугольника получаем, что угол оав тоже равен 45 градусам. если в треугольнике 2 угла равны, то треугольник равнобедренный, что и требовалось доказать.

Пусть данный треугольник будет авс, вн - искомая высота.   для медианы треугольника есть формула:   м=1/2*(√2а²+2b²-c²), где м - медиана, а,b и с - стороны треугольника.   формула выведена из равенства суммы квадратов диагоналей параллелограмма и квадратов всех сторон: d²+d²=2(a²+b²) для решения можно достроить треугольник до параллелограмма и решать через это равенство.    возведем обе стороны уравнения в квадрат :     м²=1/4*(2а²+2b²-c²)     4м²=(2а²+2b²-c²)     подставив известные значения, получим   2704=3140-с²   с²=436     выразим из ∆ авс квадрат высоты вн:   вн²=ав²-ан²     вн²=вс²-нс²    приравняем оба выражения :   ав²-ан²  =вс²-нс²   нс=ас-ан    436-ан²=841-729+54 ан- ан² ,   откуда   54 ан=324⇒     ан=6     вн²=ав²-ан²    вн²=436-36=400  вн=√400=20 (ед. длины)

найдём вектор  d = (2в-3а).

проекции этого вектора:

dx = 2bx - 3ax = 2*2 - 3*1 = 4-3 = 1

dy = 2by - 3ay = 2*2 - 3*2 = 4-6 = -2

dz = 2bz - 3az = 2*0 - 3*(-1) = 0 + 3 = 3

поскольку векторы с и d коллинеарны, то их проекции пропорциональны.

найдём коэффициент пропорциональноски к

к = cz/dz = -6/3 = -2

найдём остальные прекции вектора с

к = cу/dу       cу = к*dу = -2*(-2) = 4

к = cх/dх       cх = к*dх = -2*1 = -2

итак, вектор с имеет проекции cх = -2, cу = 4, cz = -6

длина вектора определяется формулой (sqrt - корень квадратный):

с = sqrt (cx^2 + cy^2 +cz^2) = sqrt [(-2)^2 + 4^2 +(-6)^2]  =

  = sqrt [4 + 16 +36] = sqrt(56) = 2 sqrt(14)