Высота опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника делит его на два треугольника площади которых соответственно 6 см и 54 см. найти гипотенузу треугольника

Обозначим отрезки, на которые высота делит гипотенузу, за x и y, причём x< y. высоту обозначим за h.   высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника. площадь одного из них равна 1/2xh, а площадь другого 1/2yh, так как в каждом катетами  является высота и один из отрезков, на которые разделена гипотенуза. зная, что 1/2xh=6, 1/2yh=54, получаем 9/2xh=54, 9/2xh=1/2yh, откуда 9x=y.   известно, что h²=xy (верно для высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе), значит, h²=x*9x=9x², то есть h=3x. теперь рассмотрим треугольник с площадью 6. его катеты равны x и 3x, значит, площадь равна 1/2*x*3x=3/2x². то есть, 3/2x²=6 и x=2. тогда один из отрезков равен 2, а второй равен 9x=9*2=18. то есть гипотенуза разделена на отрезки 2 и 18, тогда её длина равна 2+18=20.

Чертёж нарисуйте сами, это просто. в правильном восьмиугольнике противолежащие стороны параллельны. м₂м₃ ll м₆м₇, значит м₃м₆⊥м₆м₇, значит тр-ник м₃м₆м₇ прямоугольный. аналогично тр-ник м₃м₇м₈ прямоугольный. эти треугольники равны по равным катетам м₆м₇ и м₇м₈ и общей гипотенузе м₃м₇, значит s(м₃м₆м₇)=s(м₃м₆м₇м₈)/2=√2/2. в тр-ке м₃м₆м₇ м₆о - медиана (о - точка пересечения больших диагоналей восьмиугольника, его центр), значит s(м₆ом₇)=s(м₃м₆м₇)/2=√2/4. площадь восьмиугольника: s₈=8·s(м₆ом₇)=8·√2/4=2√2 - это ответ.

Осевое сечение конуса – прямоугольный, равнобедренный треугольник, с углами 90°, 45°, 45° гипотенуза которого, является диаметром основания цилиндра и равна х, тогда r=0,5x высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой и разбивает осевое сечение на два равных треугольника и равна h=х√3/2 гипотенуза треугольника, она же образующая l=r/cos45°=r√2=x*√2/2 sб=  πrl = π*0,5x* x*√2/2 = π* x²*√2/4 sпп= sб+sосн= π* x²*√2/4 + x²/2= π* x²*(√2+2)/4 sпп/ sб=( π* x²*(√2+2)/4)/( π* x²*√2/4)=1+ √2