Вравнобедренном треугольнике углы при вершине равны α, высота, опущенная на боковую сторону равна h.найти стороны треугольника

Боковые стороны равны ав = вс =  h / sin  α. основание равно 2*ав*sin (α/2) = 2*h*sin (α/2) / sin  α

Около треугольника ABC описана окружность. Прямая BO, где O – центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.

a) Докажите, что AP=OP.

б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если угол ABC

равен 120^{\circ}, а радиус описанной окружности равен 18.

а) Покажем равенство углов OAP, AOP треугольника AOP, что будет означать и равенство его сторон AP,OP.

Точка O, центр вписанной окружности в треугольник ABC, – точка пересечения биссектрис углов треугольника. Пусть \angle A=2\alpha,\angle B=2\beta.

\angle PAC=\angle CBP=\beta как вписанные углы, опирающиеся на дугу PC.

\angle AOP – внешний угол треугольника ABO, \angle AOP =\angle BAO+\angle ABO=\alpha +\beta.

Итак, \angle OAP=\angle AOP, откуда AP=OP. Что и требовалось доказать.

б) Заметим, \angle ACP=\beta (опирается на дугу AP как и вписанный угол ABP). То есть треугольник ACP – равнобедренный. Пусть Q – центр описанной окружности около треугольника ABC.

Поскольку центр описанной окружности около треугольника – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, то перпендикуляр, проведенный к AC из точки P пройдет через точку Q.

Поскольку \angle ABC=120^{\circ}, то \beta=60^{\circ}.

\angle APH=30^{\circ}, а поскольку треугольник AQP – равнобедренный, то \angle AQH=60^{\circ}.

В прямоугольном треугольнике AQH \angle HAQ=30^{\circ},AQ=18, значит, QH=9.

Наконец, PH=PQ+QH=18+9=27.

ответ: б) 27.

Площадь прямоугольного треугольника равна:
S=0.5*BC*AC
2) Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:
frac{AC}{AK}= frac{CB}{BK}
frac{AC}{3}= frac{CB}{4}
AC= frac{3}{4}*CB
3) По теореме Пифагора:
AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}
AB=3+4=7
(frac{3}{4}*BC)^{2}+BC^{2}=49
frac{9}{16}*BC^{2}+BC^{2}=49
frac{25}{16}*BC^{2}=49
BC^{2}=frac{49*16}{25}
BC>0
BC= sqrt{frac{49*16}{25}}=frac{7*4}{5}=frac{28}{5}=5frac{3}{5}=5.6
AC= frac{3}{4}* frac{28}{5}=frac{21}{5}=4.2
4) S=frac{1}{2}*frac{21}{5}*frac{27}{5}=frac{21*27}{50}=frac{567}{50}=11.34 - ответ