Вравнобедренном треугольнике угол при основании равен 55 градусов. найти угол, противолежащий основанию

центр этой окружности лежит на пересечении 2 прямых.

1. перпендикуляр к основанию (любому), через его середину.

2. то же к любой боковой стороне. 

эта точка равноудалена от 3 вершин трапеции (просто по построению, тут и нечего доказывать), и надо показать, что и четвертая вершина трапеции равноудалена от этой точки. но это сразу следует из того, прямая, перпендикулярная одному из оснований и проходящая через его середину, то же самое делает и со вторым - она ему перпендикулярна и проходит через его середину (здесь-то и используется равнобедренность, в неравнобедренной трапеции второе основние не разделится перпендикуляром пополам). следовательно, точки этой прямой равноудалены от концов второго основания. 

это всё.

отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия (отношению сходственных сторон треугольников).