Одна из сторон треугольника равна 30 см, а другая делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 14 см и 20 см, считая от конца неизвестной стороны. найти радиус вписанной окружности.​

Через точку в надо провести прямую, параллельную биссектрисе ак (к - точка пересечения биссектрисы угла а и стороны вс)  и параллельной ей  прямой мd (или мe, что одно и то же.. прямой мde)  до пересечения с продолжением са в точке р. треугольники аde и (подобный ему) авр - равнобедренные, так как угол dea = угол кас = угол кав = угол eda, то есть углы при основании равны. поэтому очевидно ре = bd;   с другой стороны, поскольку ме - средняя линяя в треугольнике bcp (ме ii bp и проходит через середину м стороны вс), то есть  pe = ce; поэтому bd = ce

Треугольники мвс и амр подобны, и вс/ap = 1/2; => cm/am = 1/2; откуда am = 2*cm; ac = am + cm = 2*cm + cm = 3*cm;   см  = ac/3;   подобны и треугольники вос и aod, и co/oa = bc/ad = 1/4; то есть ao = 4*co; ac = ao + oc = 4*oc + oc  = 5*ac; co =  ac/5;   отсюда mo = cm - co =  ac*(1/3 - 1/5) = ac*2/15; точно так же показывается, что no = bd*2/15; (ясно, что bo = do/4; откуда bd = bо   +od = bo + 4*bo = 5*bo;   а из подобия треугольников bnc и pmd => bn/nd = bc/pd = 1/2; nd = 2*bn; bd = nd + bn = 3*bn; далее on = bn - bo = bd*(1/3 - 1/5) = bd*2/15);   если провести  cк ii bd, точка к лежит на продолжении ad,  то  bdkc – параллелограмм, и ck = bd; и угол aod = угол ack; треугольник ack подобен треугольнику mon, потому что соответственные стороны пропорциональны (no = bd*2/15 = ck*2/15; mo = ac*2/15,  угол aod = угол ack). коэффициент подобия равен 2/15.  поскольку   ak = ad + bc,  площадь треугольника ack равна h*(ad + bc)/2, где h – расстояние от с до ad, то есть – высота трапеции abcd и треугольника ack (словами это можно выразить так -  у трапеции и построенного треугольника  "общая" высота и равные средние линии).  то есть площадь ack равна площади трапеции s.  стороны относятся, как 2/15, значит, площади, как (2/15)^2; отсюда площадь mon равна s*(2/15)^2 = 50*4/225 =  8/9; эта уже несколько раз была