Точка m − середина стороны bc треугольника abc. окружность, проходящая через точки a и m, касается стороны bc и пересекает стороны ab и ac в точках x и y соответственно. известно, что ax=9, bx=3, cy=2. чему равна длина отрезка ay?

Здесь нужно применить формулу нахождения площади через диагонали. s=1/2 d1*d2* sinα, где d 1 и 2 - диагонали, альфа - угол между ними. теория: диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.  дано: авсд - прямоугольник. о - точка пересечения диагоналей ас и вд. ∠вас=5*∠cад найти: s-? решение:   ∠вас+∠сад=90°   5*∠сад+∠сад=90   6*∠сад=90     ∠сад=15°     ∠вас=75° аво - равнобедренный треугольник  ∠а=∠в=75°.  ∠с=180-(75+75)=30°. это и есть угол между диагоналями. синус 30 град. = 1/2. теперь,   s=1/2 *6*6* 1/2=⇒   s=9

Согласно обратной теореме фалеса,  прямая ed параллельна прямой bc. пусть f - точка пересечения прямых ed и am.  треугольник aed - равнобедренный (ae=ad, т.к. ес и вd - медианы треугольника   рассмотрим треугольники  aef и afd: ae=ad, т.к. ес и вd - медианы треугольника вас. af - общая сторона углы aed и ade равны как углы равнобедренного треугольника aed. следовательно треугольники efa и afd равны по первому признаку. значит af является для этого треугольника биссектриссой, медианой и высотой. отсюда следует, что af⊥ed. т.к. точка fявляется точкой пересечения прямых ed и am(  f∈am), то прямая  am⊥ed  и т.к. ed║bc, то am⊥bc.