Точки a, b, c, d не лежат в одной плоскости, точки к, м, р-середины отрезков ab, ac, ad.докажите что плоскости кмр и bcd параллельны.

точки a,b,c,d

все выглядит так

точки  b,c,d образуют треугольник ,который является основанием трехгранной пирамиды abcd

где т.а -вершина пирамиды

у пирамиды три боковых грани-треугольники abc,acd,abd

у каждого треугольника основание вс,cd,bd -соответственно

у каждого треугольника средняя линия km,mp,kp -соответственно

каждая средняя линия параллельная своему основанию и плоскости (bcd)

три средних линии пересекаются и образуют единственную плоскость (кмр),которая параллельна плоскости (bcd)

доказано

Перпендикуляр от точки к прямой

Отрезок AC называется перпендикуляром, проведённым из точки A прямой a , если прямые AC и a перпендикулярны.

пер3.jpg

Точка C называется основанием перпендикуляра.

От точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Perpendikuls.png Perpendikuls1.png

Докажем, что от точки A , не лежащей на прямой BC , можно провести перпендикуляр к этой прямой.

Допустим, что дан угол ∡ABC .

Отложим от луча BC угол, равный данному, и совместим эти углы накладыванием (представим, что сложим лист бумаги с равными углами по стороне BC ).

Сторона BA совместится со стороной BA1 .

При этом точка A наложится на некоторую точку A1 .

Следовательно, совмещается угол ∡ACB с ∡A1CB .

Но углы ∡ACB и ∡A1CB — смежные, значит, каждый из них прямой.

Прямая AA1 перпендикулярна прямой BC , а отрезок AC является перпендикуляром от точки A к прямой BC .

Если допустить, что через точку A можно провести ещё один перпендикуляр к прямой BC , то он бы находился на прямой, пересекающейся с AA1 . Но две к одной и той же прямой перпендикулярные прямые должны быть параллельны и не могут пересекаться.

Это противоречие, что означает: через данную точку к прямой можно провести только один перпендикуляр.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:

1. найти середину стороны;

2. соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.

Mediana.png

У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.

Все медианы пересекаются в одной точке.

Mediana1.png

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Поэтому для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:

1. построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);

2. найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;

3. соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.

Bisektrise.png

У треугольника три угла и три биссектрисы.

Все биссектрисы пересекаются в одной точке.

Bisektrise1.png

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Поэтому для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:

1. провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);

2. из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней (перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол 90° ) — это и будет высота.

Augstums.png

Так же как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Augstums1.png

Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличаются.

Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.

Augstums2.png

Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.

Augstums3.png

Если из одной и той же вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана окажется самым длинным отрезком, а высота — самым коротким отрезком.

                    1                                             2                                                                     360  дм отрезок fq в два раза меньше отрезка qn: qn = 2  fq  (см. чертеж) отрезок fn состоит из двух отрезков fn = fq + qn  = fq + 2 fq = 3 fq fn = 3 fq fn = 360 дм 360 = 3  fq fq  = 360/3 = 120 fq = 120 дм. qn = 2  fq = 2*120 = 240 qn = 240 дм.