Вчетырехугольнике abcd продолжения противоположных сторон ab и cd пересекаются под углом 20? ; продолжения противоположных сторон bc и ad также пересекаются под углом 20? . докажите, что два угла в этом четырехугольнике равны, а два других отличаются на 40?

Рассмотрим получившиеся треугольники aod и ао1в. они подобны по первому признаку подобия: два угла одного треуг-ка соответственно равны двум углам другого: < aod=< ao1b=20° по условию; < a - общий значит, < ado=< abo1 (это углы b и d в четырехугольнике) пусть общий для обоих треугольников aod и ао1в угол а будет х. выразим неизвестные углы ado и abo1, зная, что сумма углов треугольника равна 180°: < ado=< abo1=180-(< a+20)=160-< a=160-x (< d=< b=160-x) рассмотрим четырехугольник abcd. зная сумму его углов, выразим угол с: < c=360-(< a+< b+< d)=360-(x+160-x+160-x)=40+х. т.е. < c=40+< a (поскольку за х мы принимали угол а). таким образом, мы видим, что разница между углами с и а равна 40 градусов.

1. 

для начала построим прямую ad. заметим, что 1/2 дуги cd равна углу cad(вписанный угол), аналогично 1/2 дуги ab равна угла bda. теперь рассмотрим тругольник pad   и внешний угол bpa,который равен сумме углов cad и bda(свойство внешнего тоесть угол bpa равен 1/2(дуга ab + дуга cd).

теперь достроим треугольники boa   и cod. видно что 1/2 дуги ab равна углу boa,а 1/2 дуги cd равна угла cod. но следуя из выше докаженного(первый абзац) сделаем вывод что 

угол bpa=  1/2(дуга ab + дуга cd). = угол boa+ угол cod2 . не знаю(

Две пересекающиеся прямые ор и of плоскость, которая пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямым. значит, f₁p₁ и f₂p₂ параллельны и лежат в одной плоскости с точкой о. рассмотрим треугольники оf₁p₁ и оf₂p₂: угол при вершине о - общий; ∠оf₁p₁ = ∠оf₂p₂ как соответственные при пересечении параллельных прямых f₁p₁ и f₂p₂ секущей of, значит δоf₁p₁ подобен  δоf₂p₂ по двум углам. оp₁ : ор₂ = f₁p₁ : f₂p₂ оp₁ = х, оp₂ = х + 4 x : (x + 4) = 3 : 5 5x = 3(x + 4)   5x = 3x + 12 2x = 12 x = 6 оp₁ = 6 см