Вправильной треугольной призме abca1b1c1 все ребра равны 1 найдите косинус угла между прямой ac1 и плоскостью bcc1.

Проекция ас₁ на плоскость всс₁ (это боковая грань) равна: с₁к =  √(1²+(1/2)²) =  √5/2. диагональ  ас₁ =  √(1²+1²) =  √2. косинус угла между прямой ac1 и плоскостью bcc1 равен: cos  α =  √5 / (2√2) = 0,79057.

Такое слегка туповатое решение, мне оно не нравится с эстетической точки зрения. o - точка пересечения ad и  bk, ch - высота к ab.  ясно, что md ii ch ii kn; поэтому an/nh = ak/kc = 1; an = nh = ab*2/5;   получилось ah = ab*4/5; следовательно bh = ab/5; из условия следует, что bm = ab/10; то есть bm/bh = 1/2; bm = mh; но bm/mh = bd/cd; то есть bd = cd; это означает ( не больше, не меньше), что треугольник abc - равнобедренный, ab = bc; и ad - не только биссектриса, но и медиана, и высота. это не все чудеса этой . далее. dm - высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике abd. при этом bm = ab/10; am= ab*9/10; откуда dm^2 = bm*am = (ab^2)*9/100; dm = ab*3/10 = 3*bm; прямоугольные треугольники bmd и abd подобны. поэтому ad = 3*bd;   поскольку o - точка пересечения медиан, то do = ad/3 = bd; это второе, и последнее чудо - прямоугольный  треугольник obd равнобедренный.  это означает, что od/ob = 1/ √2; c учетом того, что od = ad/3; bo = bk*2/3; получается ad/bk =  √2;

Предположим что: m=(a+b)/2 ,но a не   параллельно b сделаем построения: проведем   сторону   bq=x параллельно m. и   прямую aw=y параллельно m (она   же параллельна x) по   теореме фалеса   тк   am=mb,то qn=nw=l тк   сn=nd,то   cq=wd=m на   продолжении aw отложим   отрезок равный   x. далее   из соответственных и вертикальных угол выходит что углы dwz и   bqc   равны. то   треугольники bqc и wdz равны   по 2 сторонам   и углу между ними. то   dz=bc=a. то   по неравенству треугольника azd:   (a+b)> (x+y) тк abqw-трапеция,а m -ее средняя   линия,то 2m=(x+y).   по   предположению:     2m=(a+b) то   (a+b)=(x+y) что   противоречит   неравенству : (a+b)> (x+y) то   есть   мы пришли к противоречию. значит bc параллельно ad. это   решение я назвал (офигенный   кораблик)