Две окружности пересекаются в точках a и b. точка x лежит на прямой ab, но не на отрезке ab. докажите, что длины всех касательных, проведенных из точки xк окружностям, равны.

Шаг 1. для удобства описания решения позволю себе обозначить o как o2, f как f1 и e как f2.  шаг 2. обозначим точку пересечения ab и o1 o2 как d.  шаг 3. решение будет симметрично относительно прямой ab, поэтому индексы я опускаю.  рассматриваем треугольник obd: угол d прямой. значит, od^2 = ob^2 - bd^2.  шаг 4. рассматриваем треугольник omd: угол d прямой, значит, om^2 = od^2 + md^2 = ob^2 - bd^2 + md^2.  шаг 5. рассматриваем треугольник omf: угол f прямой, значит, mf^2 = om^2 - of^2 = ob^2 - bd^2 + md^2 - of^2.  вспоминаем, что ob = of = r - радиус окружности, поэтому, mf^2 = md^2 - bd^2.  равенство справедливо как для первой окружности, так и для второй. осталось подставить соответствующие индексы..

ответ: 6,72

объяснение: ортотреугольником  называют треугольник, вершинами которого являются   основания высот некоторого треугольника.

                      *   *   *

  на рисунке точки к, м и н - основания   высот треугольника авс. ⇒ ∆кмн - его ортотреугольник.

решение:

  высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. ⇒ ан=сн=4: 2=2.

прямоугольные ⊿ акс=⊿ сма по равному острому углу ( ∠а=∠с как углы при основании равнобедренного   треугольника) и общей гипотенузе ас.

медианы прямоугольных треугольников равны половине гипотенузы.. кн=мн=4: 2=2. следовательно, ан=кн, сн=мн, – ∆ акн и ∆ смн равнобедренные,   при этом углы при их основаниях равны углам при основании ∆ авс.   поэтому  

∆ акн и ∆смн   подобны ∆ авс.

из подобия следует нс: вс=мс: ас ⇒ 2: 5=мс: 4, откуда мс=8/5=1,6

вк=вм=вс-см=5-1,6=3,4

∆ квм~∆ авс ( оба равнобедренные с общим острым углом в) ⇒

вк: ав=км: ас ⇒ км=3,4•4: 5=2,72

р(кмн)=км+кн+мн=2,72+2+2=6,72 ( ед. длины)

Пускай нам дана трапеция abcd (вс и аd - основания)  , ее диагональ ас = вс + ad угол между диагоналями ас и вd равен 60 °  доказать, что авсd - равнобедренная трапециядоказательство: проведем из пункта в прямую к диагонали ас (пункт пересечения обозначим о), так, что вс = сотогда ао = ас - со = (вс + ad) - вс = ad  имеем два равнобедренных треугольника  ∆всо  (вс = со)  и  ∆aod (ао = ad)< cbo = < cob ( ∆bco- равнобедренный) < aod = < ado ( ∆aod- равнобедренный) < bco = < oad (накрест лежащие) ==> < cbo = < cob =  < aod = < ado раз < aod = < boc, а стороны ао и со  этих углов лежат на одной прямой, то < aod   и  < boc -вертикальные и значит   во и od лежат на одной прямой ==> o - пункт пересечения диагоналей ac и  bd тогда < boc = aod = 60°  (по условию) < cbo = < cob = < aod = < ado = 60°  < bco = < oad = 180 - < aod - < oda = 60°  ==> ==>   ∆bco и  ∆aod - равносторонние bc = co = ob (∆bco   - равносторонний) ao = od = ad (∆aod - равносторонний)  < boa = < cod (вертикальные) ==> ==>   ∆boa =  ∆cod (по двум сторонам и углу между ними)   значит ba = cd и делаем вывод, что abcd - равнобедренная трапеция всё  =)