Площадь правильного треугольника построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника в два раза больше чем площадь последнего.найти углы прямоугольного треугольника.

Площадь правильного треугольника со стороной с равна s1=c²√3/4 площадь прямоугольного треугольника с катетами а и b и гипотенузой с равна s2=ab/2=1/2*c*sin α*c*cos α=1/4*c²*sin 2α. по условию s1: s2=2, c²√3/4: 1/4*c²*sin 2α=2, √3: sin 2α=2, sin 2α=√3/2. 2α=60, α=30°. соответственно второй угол β=180-90-30=60°. ответ: 30° и 60°.

Вариант решения. около окружности единичного радиуса описана равнобочная трапеция,    у которой одно основание вдвое больше другого. найти среднюю линию трапеции. четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда равны сумы его противололожных сторон.  в трапеции авсd  ав+сд=вс+ад.   ав=сд.  вс+ад=2 ав.  опустим из в высоту вн.  высота трапеции вн равна диаметру  вписанной окружности и равна 2, так как. радиус окружности равен единице.  пусть вс=2а.  тогда ад=4а.  2ав=вс+ад=6а  ав=3а   ан=а.   вн=2  по т. пифагора  вн²=ав²-ан²  4=9а²-а²  4=8а²  а²=2/4  а=(√2): 2  средняя линия трапеции равна полусумме оснований: 6а: 2=3*(√2): 2

Около единичной окружности рисуем равнобочную трапецию.  обозначим трапецию abcd, нижнюю левую вершину буквой a. проведем среднюю линию трапеции и обозначим   mn, m лежит на стороне   ab. центр единичной окружности обозначим o  . ab=a, ad=2a, радиус окружности равен 1. средняя линия mn=(bc+ad)/2=(a+2a)/2=3a/2=1,5a. надо найти величину a.  известно, r=1.   соединим центр окружности o с точкой касания окружности на стороне ab, точку касания обозначим  p. отрезок op- радиус окружности и он перпендикулярен стороне ab. продлим стороны ab, cd до пересечения. точку пересечения назовем буквой k. треугольник akd-равнобедренный. bc-средняя линия треугольника, так как   ad=2bc,bc//ad, как основания трапеции.. из вершины k треугольника akd опустим высоту kl, l- точка пересечения с основанием ad, t- точка пересечения с основанием bc.    рассмотрим два треугольника: akl и  opk. эти треугольники- подобные. стороны взаимно перпендикулярны и общий угол. kl перпендикулярна ad, op перпендикулярна  ab, угол k- общий. запишем пропорцию:   al/op=kl/pk, al=a, op=1, kl= 4  (bc-средняя линия треугольника, lt- высота трапеции, lt=2, точка t лежит на средней линии треугольника, значит высота kl=4), вычислим pk. рассмотрим треугольник opk. op=1 , ok=3.  pk²= ok²-op², pk²= 3²-1²=9-1=8, pk=√8=2√2. подставим все величины в пропорцию. a/1=4/2√2, a= 1·4/2√2, a= 2/√2=2·√2/√2·√2=√2, a =√2, mn= 1,5a=1,5·√2= 3√2/2. mn=3√2/2.