Биссектрисы углов а и в при боковой стороне ав трапеции авсd пересекаются в точке f . биссектрисы углов с и d при боковой стороне сd пересекаются в точке g. найдите fg если средняя линия трапеция равна 19, боковые стороны 13 и 15.

Латиница заменена на трапеция авсд, вк - биссектриса угла в, ар - биссектриса углаа, сн - биссектриса угла с, дт - биссектриса угла д, треугольник авк равнобедренный , угол акв = углу квс как внутренние разносторонние и = углу авк, ав=ак=13 аф - биссектриса. медиана , высота (af), из точки ф проводим линию параллельную основанию ад на ав, получаем среднюю линию фл в треугольнике авк, которая = 1/2 ак = =13/2=6,5 такую же процедуру делаем для равнобедренного (по выше наведенным признакам)треугольника ндс (нд=сд=15), средняя линия жм (gm) = 15/2=7,5 фж (fg)= средняя линия трапеции - фл-жм = 19-6,5-7,5=5

Построим равнобедренный треугольник авс с основанием ав. проведем высоты ад и ве. рассмотрим треугольники acд и bcе.  ac=bc (как боковые стороны равнобедренного треугольника), угол асв - общий, углы aдc=bеc=90 (так как aд и bе высоты).  сумма углов треугольника равна 180 градусам.  в треугольнике acд угол caд=180-(aдc+асв)=180 - 90 - аcв=90-асв градусов.  в треугольнике bcе угол cbе=180- (bеc+асв)=180- 90 -асв=90-аcв градусов.  значит: углы caд=cbе.  следовательно, треугольники acд и bcе равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).  так как треугольники acд и bcе равны то и соответствующие стороны равны: aд=bе. 

1.  в  тупоугольном треугольнике  лишь один угол тупой, прочие острые,  поскольку внешний угол, смежный с тупым внутренним углом,- острый, следовательно, всякий из оставшихся внутренних углов также острый.

2.  в  прямоугольном треугольнике  лишь один угол прямой, прочие острые,  поскольку внешний угол, смежный с прямым внутренним углом также прямой, следовательно, всякий из оставшихся внутренних углов будет острым.

3.  из всякой точки, взятой вне прямой, есть возможность прочертить к этой прямой исключительно один единственныйперпендикуляр, поскольку, допустив, что из указанной точки существует и второй перпендикуляр к выбранной  прямой, мы имели бы  треугольник, внешний угол которого был равен внутреннему  углу, не смежному с ним, что не соответствует доказанной теореме.