Найдите высоту прямого кругового цилиндра, равновеликого шару радиуса r, если диаметр основания цилиндра равен диаметру шара.

равновеликие - значит одинаковые объёмы

приравняем объёмы окружности и цилиндра:

pi*r*r*h=4*pi*r*r*r/3

 

отсюда

h=4r/3

Предположим, что внутри выпуклого четырёхугольника abcd  существует область, которую не покрывают круги, построенные на его сторонах как  диаметрах. пусть точка е принадлежит этой области. чтоб не загромождать рисунок, построим только одну окружность с диметром ad. из точки е опустим  на  ad  перпендикуляр ef. он пересечёт окружность в точке  g. любой вписанный в окружность  угол, построенный на её  диаметре, прямой. т.е. < agd = 90°. следовательно,  < aеd обязательно будет острым (< aеd  <   90°). повторяя аналогичные построения для трёх других сторон, получим 4 острых  угла, сумма которых меньше 360°, что невозможно, так как их сумма должна быть равна  360°. пришли к противоречию. значит,  внутри выпуклого четырёхугольника не  существует области, которую не покрывают круги, построенные на его сторонах как  диаметрах.

Ромб авсд, ав=вс=сд=ад=8, радиус=2*корень3, проводим перпендикуляры в точки касания он на ад и ом на ав, он в квадрате=ан*нд  - (это уравнение получается из отношения сторон подобных треугольников,  треугольник аон подобен треугольнику нод как прямоугольные по равным острым углам - угол аон=90-1/углаа=90-30=60, уголндо)=1/2 углад=(180-60)/2=60, тогда ан/он=он/нд или он в квадрате=ан*нд), нд=х, ан=8-х, 12=(8-х)*х, х в квадрате-8х+12=0, х=(8+-корень(64-4*12))/2=8+-4/2, х1=2=нд, х2=6=ан, ан=ам-как касательные проведенные из одной точки=6, треугольник амн равнобедренный, но угола=60, а уголамн=уголанм=(180-60)/2=60, треугольник равносторониий, мн=ан=ам=6