Втрапеции abcd с основанием ad и bc диагонали пересекаются в точке o. а)докажите подобие треугольников aod и cob. б)найдите длины отрезков oa и ос, если основание аd=12см, вс=4 см, а диагональ=8.8 см

А). треугольники aod и cob подобны по первому признаку: два угла одного треуг-ка соответственно равны двум углам другого: - углы aod и cob равны как вертикальные; - углы вса и dac равны как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых ad и вс секущей ас. б). для подобных треугольников aod и cob можно записать отношение сходственных сторон: вс : ad = 4 : 12 = 1 : 3, k=1/3 значит со : ао = 1 : 3, и отрезок ас состоит из 1+3=4 частей. найдем, чему равна 1 часть: ас : 4 части = 8,8 : 4 = 2,2 см тогда со = 2,2 см, ао = 3*2,2=6,6 см

даны координаты вершин треугольника авс: а(0; -10),в(-12; -1),с(4; 12).найти:

1. длину стороны ав:

ав (с) = √((хв-ха)²+(ув-уа)²) = √225 = 15.

2. уравнение сторон ав и ас:

ав : х-ха = у-уа                         х           =             у + 10

хв-ха               ув-уа                       -12                             9

9х = -12у -120     сократим на 3 и перенесём налево:

3х + 4у + 40 = 0.

у(ав) = -0,75х - 10.

ас : х-ха = у-уа

хс-ха   ус-уа

      11х - 2у - 20 = 0

        у = 5,5х - 10

3. величину угла а:

cos a= ав²+ас²-вс²   = 0,4472136.  

            2*ав*ас    

  a = 1,107149 радиан.

  a = 63,434949 градусов.

4. уравнение высоты cd и ее длину.

к(сд) = -1/к(ав) = -1/(-0,75) = 4/3.

у = (4/3)х + в. для определения "в" подставим координаты точки с:

12 = (4/3)*4 + в,   в = 12 - (16/3) = 20/3.

уравнение сд: у = (4/3)х + (20/3).

длину сд можно определить двумя способами: сд = 2s/ab и по координатам точек с и д.

приравниваем уравнения ав и сд:   -0,75х - 10 = (4/3)х + (20/3),

(-25/12)х = (20/3) + 10 = 50/3,

х = (50/3)/(-25/12) = (-600/75) = -8,

у = (-3/4)*(-8) - 10 = 6 - 10 = -4.     точка d: (-8; -4).

длина сд = √-4)² + (-4-12)²) = √(144 + 256) = √400 = 20.

5. уравнение медианы ве.

точка е как середина ас: (2; 1).

ве:     х-хв = у-ув                     х + 12       =       у + 1

        хе-хв             уе-ув                         14                       2

знаменатели сократим на 2: х + 12 = 7у + 7.

общее уравнение ве: х - 7у + 5 = 0,

с угловым коэффициентом: у = (1/7)х + (5/7).      

6. координаты точки к пересечения медианы ве и высоты cd.

(1/7)х + (5/7) = (4/3)х + (20/3),

(-25/21)х = (125/21)

х = -125/25 = -5,   у = (1/7)*(-5) + (5/7) = 0.   точка к: (-5; 0).

7. уравнение прямой кр, проходящей через точку к параллельно стороне ав.

угловой коэффициент равен -0,75.

уравнение кр: у = (-0,75)х + в. подставим координаты точки к(-5; 0):

0 = (-0,75)*(-5) + в,   в =   - (15/4) = -3,75.

у = (-0,75)х - 3,75.

8. координаты точки м, расположенной симметрично точке а относительно прямой cd.

так как cd - перпендикуляр к прямой ав, то точка d(-8; -4) - это та точка, относительно которой требуется найти точку, симметричной точке а.

xm = 2xd - xa = 2*(-8) - 0 = -16,

ym =2yd - ya = 2*(-4) - (-10) = -8 + 10 = 2.

точка м(-16, 2).

четырехугольник atoc является равнобедренной трапецией (to||ac, ∠a=∠c). около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

около четырехугольника можно описать в окружность только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180. (противоположные углы вписанного четырехугольника   опираются на дополнительные дуги. дополнительные дуги составляют окружность, 360. вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180.)

в трапеции сумма углов, прилежащих боковой стороне, равна 180. (сумма односторонних углов при параллельных равна 180.) в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны, следовательно сумма противоположных углов также равна 180 и около равнобедренной трапеции можно описать окружность.