1) точки а, в и с лежат на прямой а, причем ав=5, 7м, вс=730см. какой может быть длина отрезка ас в дециметрах? 2) ∠аов=120°. проведите луч ос так, чтобы угол аос равнялся 60°(рассмотрите два случая): 1.чему равен угол сов? 2.каким углом: острым, тупым или развернутым-является угол сов? 3.является ли луч ос биссектрисой угла аов?

1) ас=130  дм или ас=16  дм 2)1  случай         1.60 градусов         2.острый         3. да 2 случай         1.180 градусов         2. развернутый         3. нет

Пусть мы имеем прямоугольный треугольник авс, катет ав = 20 см, угол в - прямой, высота из прямого угла вд, проекция вс на ас равна 42 см. обозначим сторону вс за х. косинус угла с равен 42/х, он же равен синусу угла а. высота вд =  √(х²-42²) =  √(х²- 1764).синус угла а равен вд/ав =  √(х²-   1764)/20.приравняем:   √(х²-   1764)/20 = 42/х.чтобы избавиться от корня, возведём обе части равенства в квадрат.(х²-  1764)/400 = 1764/х². получаем биквадратное уравнение х⁴-1764х²- 705600 = 0.делаем замену: х² = у. у²-1764у-705600 = 0. квадратное уравнение, решаем относительно y:   ищем дискриминант: d=(-1764)^2-4*1*(-705600)=3111696-4*(-705600)=*705600)=)=3111696+2822400=5934096; дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: y₁=(√))/(2*1)=())/2=(2436+1764)/2=4200/2=2100; y₂=(-√))/(2*1)=(-))/2=(-2436+1764)/2=-672/2=-336 этот корень отбрасываем - х² не может быть отрицательным числом. отсюда х =  √2100 = 10√21  ≈  45,82576 см.теперь находим сторону ас =  √(400+2100) =  √2500 = 50 см.искомая проекция стороны ав на ас равна 50-42 = 8 см.

A+ b = 180° – c, cos (a + b) = cos (180 – c) = –cos c. данное равенство переписывается так: cos a + cos b + cos c = ³⁄₂.        (1) докажем, что из (1) следует a = b = c = 60°. для произвольного треугольника cos a + cos b = 2 cos ½(a + b) cos ½(a – b),        (2) cos ½(a + b) = cos ½(180° – c) = cos (90° – ½c) = sin ½c.        (3) равенство (3) показывает, что cos ½(a + b) — положительная величина, поэтому из (2) следует, что cos a + cos b ≤ 2 cos ½(a + b) = 2 sin ½c. следовательно, cos a + cos b + cos c ≤ 2 sin ½c + cos c = 2 sin ½c + 1 – 2 sin² ½c = = –2(sin ½c – ½)² + ³⁄₂. значит, для любого треугольника cos a + cos b + cos c ≤ ³⁄₂, причём равенство достигается при sin ½c = ½, cos ½(a – b) = 1, т. е. при a = b = c = 60°. итак, треугольник abc правильный. сторона равна 18/3 = 6. биссектрисы (они же высоты и медианы) все три равны 3√3. площадь (правильного) треугольника из них равна ¼√3 (3√3)² = ²⁷⁄₄√3.