Биссектрисы ам и ск углов при основании ас равнобедренного треугольника авс пересекаются в точке о. докажите, что треугольник аос равнобедренный.

пирамида правильная, значит в основании правильный треугольник, боковые грани равные равнобедренные треугольники, высота проецируется в центр основания.

пусть н - середина вс. тогда sh медиана и высота равнобедренного треугольника sbc. sh - апофема пирамиды. sh = 12 см.

ан - медиана и высота равностороннего треугольника авс.

ан⊥вс, sh⊥вс, ⇒ ∠sha = 60° - линейный угол двугранного угла при основании.

δsoh: ∠soh = 90°, cos60° = oh / sh,

              oh = sh · cos60° = 12 · 1/2 = 6 см

он - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник авс:

oh = bc√3/6,    

bc = 6oh / √3 = 36/√3 = 12√3 см

sбок = 1/2 pосн · sh = 1/2 · 3 · bc · sh = 1/2 · 3 · 12√3 · 12 = 216√3 см²

пирамида правильная, значит в основании квадрат,   а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

sполн. пов. = sосн + sбок

sосн = а²

пусть sh - высота грани asd, т.е. sh -   апофема пирамиды.

sбок = 1/2 pосн · sh = 1/2 · 4a · sh

δasd равнобедренный, поэтому sh - высота, биссектриса и медиана,

ан = а/2, ∠ash = b/2.

δash: ctg(b/2) = sh / ah

            sh = ah · ctg(b/2) = a/2 · ctg(b/2)

sбок = 1/2 · 4a · sh = 2a · a/2 · ctg(b/2) = a² · ctg(b/2)

sполн. пов. = a² + a² · ctg(b/2)   = a²(1 + ctg(b/2))