Сторони трикутника дорівнюють 13см, 14см і 15см. у трикутник вписано півкруг, центр якого лежить на більшій стороні трикутника. знайдіть площу півкруга.

1. знайдемо площу трикутника за формулою герона. р=(13+14+15): 2=21 s= нехай радіус круга дорівнює r, тоді 1/2·14·r+1/2·13·r=84 7r+6,5r=84 13,5r=84 r=84: 13,5 r= sпівкруга=πr²/2 s=3136π/162

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.                 средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.                 дано: de — средняя линия треугольника abc.                                   доказательство. проведем через точку d прямую, параллельную стороне ав. по теореме фалеса она пересекает отрезок ас в его середине, т. е. содержит среднюю линию de. значит, средняя линия de параллельна стороне ав (рис. 53).                 проведем теперь среднюю линию df. она параллельна стороне ас. четырехугольник aedf — параллелограмм. по свойству параллелограмма ed = — af, а так как af = fb по теореме фалеса, то ed = ав. теорема доказана.

Вравнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит < abc=< acb=(180-< bac)/2=(180-80)/2=50° < авм=< авс-< мвс=50-30=20° < асм=< асв-< мсв=50-10=40° рассмотрим треугольник вмс:   < вмс=180-< мвс-< мсв=180-30-10=140°. по теореме синусов мс/sin 30=bc/ sin 140 mc=bc*sin 30/sin 140=bc/2sin (180-40)=bc/2sin 40 если в треугольнике авс  из вершины а опустить высоту ан  на основание вс, то она же будет и медиана и биссектриса. из полученного треугольника анс (< нас=80/2=40°,  < анс=90°, нс=вс/2)  по теореме синусов нс/sin 40=аc/ sin 90 аc=bc/2sin 40получается, что мс=ас, значит треугольник амс - равнобедренный< сам=< амс=(180-< acm)/2=(180-40)/2=70°.