Впрямоугольном треугольнике abc .am и bd -биссектрисы треугольника тогда угол boa=?

1) так как треугольник авс (уг с=90*) - прямоуг, то уг в + уг а  = 90*.

2) пусть уг в равен х, тогда уг а = 90-х.

3) в новом треугольнике аов получаем:

      уг а= х/2, уг в= (90-х)/2, сложим их:

      х/2+45-х/2=45 град сумма двух углов нового треугольника.

4) сумма углов тр аов = 180* , уга+ уг в =45, след уг аов=180-45=135*

ответ угол аов=135*

угол с = 90⁰

тогда углы a+b = 90⁰

треугольник aob образован стороной и биссектрисами углов треугольника.

так как биссектриса делит углы пополам, то можно без нахождения точного измерения каждого угла вычислить их сумму в этом треугольнике - 90⁰/2 = 45⁰

след-но третий угол треугольника aob = 180⁰-45⁰ = 135⁰

ответ. угол aob равен 135⁰

Решение. На продолжениях отрезков AM и А\М\ отложим отрезки MD и Mi А, равные AM и АХМХ (рис. 100). ААМС = ABMD по двум сторонам и углу между ними (AM = MD по построению; ВМ = МС, так как AM — медиана; ZAMC = ZBMD, так как эти углы — вертикальные). Отсюда следует, что BD = АС.

Аналогично, из равенства треугольников А\М\С\ и B\M\D\ следует, что B\D\ = А\С\, а так как АС = А\С\ (по условию), то BD = = BXDX.

AABD = AA\B\Di по трем сторонам (АВ = АХВХ; BD = BXDX\ AD = AXDX, так как AD = 2AM, A\D\ = 2A\M\ и AM = AXMX). Отсюда следует, что медианы ВМ и В\М\ в этих треугольниках равны . Поэтому ВС = 2ВМ = 2В\М\ = В\С\ и ААВС = АА\В\С\ по трем сторонам.

для вписанной окружности:

центр ---пересечение биссектрис углов треугольника

т.к. одна из биссектрис (проведенная к основанию (а)) ---медиана и высота, можно записать по определению тангенса: r / (a/2) = tg(альфа/2)

r = (a/2) * tg(альфа/2)

для описанной окружности: R = a / (2sin(180-2альфа)) = a / (2sin(2альфа))

r/R = a * tg(альфа/2) * 2sin(2альфа) / (2*a) = sin(2альфа)*tg(альфа/2)

можно еще немного сократить...

sin(2a) = 2sin(a)*cos(a) = 4sin(a/2)*cos(a/2)*cos(a)

r/R = 4cos(a)*(sin(a/2))^2 (здесь а---угол альфа)