50 .параллелограмм abcd c точками: а(-4, 1, 5), b(-5, 4, 2), c (3, -2, 1) найти точку d подробно,

Вс=ad bc=(); -2-4; 1-2) = (8; -6; -1) d=a+ad=(-4+8; 1-6; 5-1) = (4; -5; 4) d= (4; -5; 4)

Можно еще вариант? дан параллелограмм. по его свойствам, диагонали параллелограмма делятся в точке пересечения пополам. можно легко найти точку пересечения диагоналей, разделив пополам вектор ас. для этого надо сумму координат начала и конца разделить пополам: +3)/2; (1-2)/2; (5+1)/2) или  о(-0,5; -0,5: 3). теперь, зная координаты середины диагонали bd (точки о), находим координаты ее конца (точки d): (х-5)/2 = -1/2, значит х=4 (y+4)/2=-1/2, значит y=-5 (z+2)/2=3, значит z=4. итак, ответ: d(4; -5; 4)

расстояние от точки до прямой определяется отрезком, перпендикулярным к этой прямой. 

соединим центр окружности с концом хорды. 

проведем перпендикуляр из центра к хорде. он делит ее на 2 равные части. 

получился прямоугоьлный треугольник с

гипотенузой=радиусу= 5 см,

одним катетом, равным 4 см, и

вторым, величину которого нужно найти. 

можно и не вычисляя сказать, что этот катет будет равен 3 ( получился египетский треугольник с соотношением сторон 3: 4: 5). если применить теорему пифагора, мы также найдем, что расстояние от центра окружности до прямой, содержащей хорду, равную 8 см, равно 3 см

ответ: 3см 

Теорема 1

величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

доказательство

рассмотрим угол nав, образованный касательной na и хордой ab.  проведем диаметр ас. касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точке касания, следовательно, угол(can)=90°известно, что вписанный угол равен половине центрального угла дуги, на которую он опирается. отсюда имеем, что угол(bac) равен половине угловой величины дуги вс или половине угла(вос). угол(bac)=угол(boc)/2.угол(nab)=90°-угол(bac), отсюда получаемугол(nab)=90°-угол(boc)/2=(180°-угол(boc))/2=угол(аов)/2то есть равен половине угловой величины дуги ва.

фактически, это вырожденный случай теоремы о величине вписанного угла, когда вершина угла достигает конца дуги (хорды). одна из сторон угла при этом становится касательной.

теорема 2 (о касательной и секущей)

если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

доказательство

на рисунке, где ma - касательная, а mcb - секущая,эта теорема выглядит так: ма2=мв*мс. докажем это.

по предыдущей теореме угол мас равен половине угловой величины дуги ас. но вписанный угол abc тоже опирается на дугу ac, и по теореме о величине вписанного угла равен половине угловой величины дуги ас. оба угла равны половине угловой величины дуги ac, следовательно, эти углы равны между собой. угол(mac)=угол(abc).принимая во внимание то, что у треугольников амс и вма угол при вершине м общий, констатируем подобие этих треугольников по двум углам.из подобия имеем: mc/ma=ма/mb, откуда получаем ма2=мв*мс