Вкубе аbcda1b1c1d1 найдите синус угла между прямой a1d1 и плоскостью acb1

1. поскольку a1d1 ii cв, то можно искать угол между асв1 и св.

2. поскольку точка с принадлежит плоскости асв1, то для построения проекции св на асв1 достаточно построить проекцию точки в на эту плоскость.

3. диагональное сечение dbb1d1 перпендикулярно прямой ас, поскольку в нем есть 2 прямых, перпендикулярных ас - это bd и вв1. поэтому плоскости  dbb1d1 и  асв1 перпедикулярны (асв1 содержит прямую, пепендикулярную другой плоскости dbb1d1). отсюда следует, что если в плоскости  dbb1d1 выделить треугольник вв1о, где о - середина ас (центр квадрата авсd), то высота вм, проведенная к гипотенузе во, и есть перпендикуляр к плоскости авс1. в самом деле, вм перпендикулярно в1о и ас (напомню - ас перпендикулярно плоскости dbb1d1), то есть 2 прямым в плоскости асв1. 

4. таким образом, точка м - проекция в на acb1, и синус искомого угла равен вм/вс. пусть вс = 1 (примем сторону куба за единицу длины). найдем вм.

5. для этого вернемся к треугольнику в1во. вв1 = 1; во = 1/корень(2); вычисляем в1о = корень(1 + 1/2) = корень(3/2);

вм*в1о = вв1*во; (это просто площадь тр-ка, записанная 2 способами)

вм = 1*(1/корень(2))/(корень(3/2)) = 1/корень(3);

это ответ.

Am_|_(δabc) am - перпендикуляр, мв наклонная, ав - проекция наклонной мв на плоскость  δавс мс - наклонная, ас - проекция наклонной мс по условию ав=вс=ас=4 см. наклонные равны, => равны наклонные. δвмс - равнобедренный. расстояние от точки м до прямой вс - длина перпендикуляра мк -высоты равнобедренного треугольника вмс. или мк - наклонная, ак -проекция наклонной мк мк -высота правильного  δавс, вычисляется по формуле: h=a√3/2 h=4√3/2, аk=2√3 см прямоугольный  δмак: по теореме пифагора мк²=ак²+ам² мк²=(2√3)²+2². мк²=12+4, мк=4 см ответ: расстояние от точки м до прямой вс 4 см

№1. ну что ж, начнём с того, что диагонали равнобедренной трапеции равны. пусть будет трапеция авсd, вс и ad - основания, ad - большее, значит, его нам и надо найти. пуст диагонали пересекаются в точке о. если диагонали равны, то и точкой пересечения они делятся на равные отрезки, то есть во=ос=2, оа=оd=8. ad - гипотенуза. по теореме пифагора ответ: №2. пусть будет прямоугольный треугольник авс, угол в - прямой, ав= и вс= . ас - гипотенуза, ас=3. чтобы узнать проекции катетов на гипотенузу, надо из вершины прямого угла опустить перпендикуляр на гипотенузу. пусть это будет вм. тогда ам - проекция ав, мс - проекция вс. пусть ам=х, тогда мс=3-х, потому что ас=3. тогда по формуле среднего вм= . а теперь рассмотрим прямоугольный треугольник авм. запишем теорему пифагора: переносим всё в одну сторону, раскрываем скобки, решаем квадратное уравнение. получим, что х=2. значит, проекция катета ав, то есть ам=2, а проекция катета вс, то есть мс=1. ответ: 2 и 1. №3. пусть будет треугольник авс, угол в - прямой, вм-высота к гипотенузе. проекции катетов - это ам и мс. по формуле среднего пусть ам: мс=1: 25. пусть ам=х, тогда мс=25х. составим уравнение: возведём обе части в квадрат и решим уравнение: но х - это длина, она не может быть отрицательной, поэтому х=1. ответ: 1 и 25.