Площадь равнобедренного треугольника равна 81√3. длина боковой стороны равна 18. найдите косинус угла, лежащего напротив основания треугольника, если известно , что этот угол тупой.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.  s = 1/2· 18·18·sin a 81√3 = 162 sin a sin a = 81√3 / 162=  √3/2 знаем, что sin^2 a + cos^2 a = 1.  ищем косинус cos^2 a = 1 - 3/4= 1/4 ( косинус может быть = 1/2   или -1/2) угол тупой по условию  ⇒ cos a   = - 1/2

Тк  a : b = 4: 5, то у этих углов есть общая мера х,     c : d = 7: 5,  у этих углов есть общая мера у. тогда а = 4х,   в = 5х,   с = 7у,   d = 5y.  сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180. получаем систему уравнений:   4х + 7у = 180,   5х + 5у = 180,   тогда   4х + 7у = 5х + 5у, х = 2у.   подставляем в первое уравнение 15у = 180, у = 12,   х = 24. угол а = 4*24=96,   угол в = 5*24 = 120,   угол с = 7*12 = 84,   угол d = 5*12 = 60.

Так как диаметр   окружности   будет равен   боковой стороне   d=x =h   высота . если в трапецию можно вписать но следовательно  x+y=a+b   где   х и у       боковые строны а так как   x=h => h=2r = x=2r тогда  x+y=a+b x^2=y^2-(a-b)^2 x^2=(a+b-x)^2-(a-b)^2 x^2=(x-2a)(x-2b)     = x^2-2bx-2ax+4ab       x^2=x^2-2bx-2ax+4ab 2bx+2ax=4ab x(2b+2a)=4ab x=2ab/a+b x/2 = ab/a+b =r то есть высота равна   2ab/a+b  половина   ab/a+b   а это   уже радиус   ставим   s=(a+b)*r = (a+b)*ab/(a+b)=ab