20 ! у трикутнику abc відомо, що ∠c=90°, ∠b=30°, bc=18. знайдіть бісектрису ak трикутника.

в прямоуг. треуг. против угла в 30° лежит катет, равный   половине гипотенузы, т.е. в δавс против угла в лежит катет ас, пусть он равен х, тогда гипотенуза ав = 2х, а биссектриса является средним пропорциональным между отрезками, на которые она разбивает сторону св, т.е. кс/кв=ас/ав, кс пусть равен у, тогда кв равен (18-у), значит, у/(18-у)=1/2. или по основному свойству пропорции произведение крайних равно произведению средних членов, т.е. 2у=18-у.

или 3у=18, откуда у=6. кс =6, значит, ак, как гипотенуза в треуг. аск в два раза больше, чем катет ск, лежащий против угла в 30°, т.к. ∠кас =(1/2)*угла сав, равного 60°. поэтому ак = 12.

ответ биссектриса равна 12.

Заметим, что ab=am+bm, cd=cp+dp, bc=bn+cn, ad=aq+dq. по условию, am=cp, bm=dp, тогда ab=cd. также bn=dq, cn=aq, тогда bc=ad. противоположные стороны четырехугольника abcd попарно равны, тогда этот четырехугольник - параллелограмм. в параллелограмме противоположные углы попарно равны. рассмотрим треугольники amq и cnp. они равны по 2 сторонам и углу между ними. тогда mq=np. аналогично, треугольники bmn и opq равны по 2 сторонам и углу между ними, тогда mn=pq. в четырехугольнике mnpq противоположные стороны попарно равны, тогда этот четырехугольник также является параллелограммом.

MKP = 90 гр

KPT = 216

PTM = 90

TMK = 72

R=7

Объяснение:

1) Начертим окружность, отметим точки. Если M,K,P,T делят окружность в данном отношении, скажем, что градусная мера дуги MK=2x, KP=3x, PT=x, TM=4x (отношение сохраняется). Сумма градусных мер всех дуг окружности равна 360 градусам, значит 2x+3x+x+4x=360, x=36 градусов

2) Теперь, зная x, мы легко можем найти любую дугу на окружности. Это нам нужно для поиска углов четырёхугольника. Заметим, что все углы четырехугольника вписанные, а вписанный угол равен град. мере дуги окружности, деленной на два. Для примера: угол MKP опирается на дугу MP, град мера которой 5x=180, значит MKP = 90 градусов. Остальные углы ищем по такому же принципу.

3) Вспомним важный факт: вписанный угол, равный 90 градусам, опирается на диаметр окружности (это верно, тк дуга этого впис. угла равна 180 градусам, а окружность пополам делит только диаметр). Угол MKP прямой, и он опирается на MP, значит MP - диаметр. Радиус - это половина диаметра, значит R = MP/2 = 14/2 = 7