Найдите площадь треугольника авс, если угол а=, а угол в=, а высота, проведенная из вершины в, равна h с объяснениями, если можно

в треугольнике авс известно, что ав = вс = 13см, ас = 10см.к кругу вписанному в этот треугольник, проведена касательная, которая параллельна основанию ас и пересекает сторону ав и вс в точках м и к соответственно. вычислить площадь треугольника мвк.

высота тр-ка авс н =  √13²-5²=√144=12 cм

из подобия треугольников найдем радиус вписанной окружности 

ab/(ac/2)=(н-r)/r

13r = 5(12-r)

13r+5r=60

18r=60

r = 3⅓ см

высота тр-ка мвк   h=h-2r = 12-20/3 = 16/3 см

из подобия тр-ков мк/ac=h/h, mk=10*(16/3)/12 = 40/9 см

s =  ½mk*h = 40*16/(2*9*3)= 320/27 = 11+23/27 cм² 

этот треугольник интересно устроен - в нем основание равно биссектрисе угла при основании, и еще им равен отрезок от вершины (противоположной основанию) до точки пересечения этой биссектрисы с боковой стороной. 

то, что у так построенного треугольника угол при основании равен 72 градуса, а угол при вершине 36, показать легко. поскольку биссектриса делит треугольник на 2 равнобедренных, то получается, что угол при вершине равен половине угла при основании - этого уже достаточно, поскольку (если ф - угол при вершине) ф + 2*ф + 2*ф = 5*ф = 180; откуда ф   = 36.

итак, известно, что основание a равно l, и что биссектриса делит боковую сторону b на отрезки, равные l и b - l, причем по свойству биссектрисы

l/(b - l) = b/l; или (обозначим x = b/l)

x^2 - x   - 1 =0;   x = (√5 + 1)/2; отрицательный корень отброшен

ответ a = l; b = l*(√5 + 1)/2;

если внимательно посмотреть на гошино решение, можно понять, почему этот треугольник можно считать "замечательным" : sin(18) =  (√5 + 1)/4;