Высота проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна 6 см, и делит гипотенузу на отрезки один из которых больше другого на 5. см.найти все стороны.

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна среднему отрезков, на которые она делит гипотенузу. пусть в прямоугольном треугольнике abc с гипотенузой c проведена высота ch, при этом ah=x, bh=x+5 (по условию, один из этих отрезков больше другого на 5 см). тогда ch²=ah*bh, 6²=x(x+5), x²+5x=36, x²+5x-36=0. решим это квадратное уравнение: d=25+36*4=169=13², x₁=(-5+13)/2=4, x₂=(-5-13)/2=-9, x₂ - посторонний корень, так как длина отрезка - положительное число. тогда ah=4, bh=9, ab=13. рассмотрим прямоугольный треугольник ach, в нём катеты ah и ch равны 4 и 6, тогда гипотенуза ac по теореме пифагора равна  √4²+6²=√52. аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник bch, в котором катеты ch и bh равны 6 и 9, тогда гипотенуза bc по теореме пифагора равна  √6²+9²=√117.  таким образом, стороны треугольника равны  √52,  √117, 13.

При чем. в этом треугольнике две стороны равны, значит этот треугольник равнобедренный. а в равнобедренном треугольнике, биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой! то есть, биссектриса в этом треугольнике так же является и медианой, а медиана делит сторону пополам. то есть, ad и dc - равны, а значит и ad, и dc = 5 см. вместе, сторона ac = 10 см. заучи эту теорему наизусть! в равнобедренном треугольнике биссектриса является и медианой, и высотой. в равнобедренном треугольнике медиана является и биссектрисой, и высотой. в равнобедренном треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой. смысл один.

    назовём данный треугольник авс.

вв1- высота к ас.

аа1=сс1 - высоты к равным боковым сторонам.

    высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой и медианой. ⇒

ав1=св1=30: 2=15 см

∆ авв1=∆ свв1 ( по трем сторонам).

из ∆ авв1 по т.пифагора

    вв1=√(ab²-ab1²)=√(17²-15²)=8 см

высоты к боковым сторонам найдем из площади ∆авс

    заметим, что ∆ авс - тупоугольный ( ас² > ав²+вс²), поэтому высоты, проведенные к боковым сторонам тупоугольного треугольника, лежат вне его. 

s(abc)=bb1•ac: 2=8•15=120 см²

aa1=2s(abc): bc

    aa1=cc1= см