Из вершины прямого угла c треугольника abc проведена высота cp . радиус окружности вписанной в треугольник bcp равен 60, тангенс угла bac 4/3 найдите радиус окружности вписанной в треугольник abc.

1. tga=4/3, значит tgpcb=4/3, следовательно pb/cp=4/3. пусть pb=4x, a cp=3x, r=2s/p, где s площадь, а p периметр, значит r=3x*4x*2/2*(3x+4x+ корень (3x^2 + 4x^2)= 12x^2/12x=x, r=60, значит x=60

2. x=60, следовательно pb=4*60=240, cp=3*60=180? bc= корень 180^2 + 240^2=300

3.bc/ac=4/3, ac=bc*3/4=225

4. ab= корень  ac^2= bc^2= корень 300^2=225^2=375

5.r=a+b-c/2, соответственно r=cb+ac-ab/2=75

ответ: 75

По сумме углов прямоугольного треугольника, угол ваn=90°-угол в=90°-45°=45°=угол в, тогда по признаку равнобедренного треугольника, аnb - равнобедренный (an=bn=8 см по определению), значит, s∆abc=an*bc/2=8 см(bn+cn)/2=4 см(8 см+6 см)=4 см*14 см=56 см^2, поэтому рассмотрим ∆abn (угол abn=90°): ab=√(an^2+bn^2)=√(64+64)=√128=8√2(см) итак, ab=8√2 см, а рассмотрим ∆abc: по теореме cos, ac^2=ab^2+bc^2-2ab*bc*cos b=128+196-2*8√2*14*cos 45°=324-224√2√2/2=324-224=100 (см^2) ас=√ас^2=√(100 см^2)=10 см ответ: s∆abc=54 см^2, ас=10 см

Попробуйте вообразить себе данный прямоугольный треугольник с расстановкой букв против часовой.(прикреплю) здесь три способа решения, в первом можно помучиться,обозначив за х часть от  гипотенузы и прилежащего катета и выйти на долю икс через т.пифагора ввиду известного противолежащего катета относительно угла авс. это выход,когда девятиклассник не знает ни косинусов легких углов,ни о.т.тождества,ни формул (если знать формулу или основное тригонометрическое тождество,можно вылететь на синус и на тангенс,а там по т.пифагора. в о втором (самом легком! )достаточно знать синусы\косинусы "легких" углов, например,я знаю,что корень из трех пополам - это косинус 30. тогда решается на раз-два-три: выпускники девятых классов,считает фипи,должны это знать: ) ну а дальше гипотенуза равна 2*5=10! : ) легко! почему? по теореме о катете,лежащем против угла в 30 гр.(в прямоугольном треуг.) в третьем через основное тригонометрическое тождество. надо уметь выражать формулы. ответ в любом случае: 10. вот,поглядите. какой способ устраивает вас? : )