Нужна ! могут ли стороны треугольника быть пропорциональны числам 1, 2, 3?

Нет, т.к. в треугольнике должно выполняться неравенство треугольника: сумма  длин любых двух сторон больше третьей стороны. а здесь, если стороны равны x, 2x, 3x, то получается 3x=x+2x. т.е. сумма двух сторон равна третьей, а не больше, поэтому ответ: не могут.

1)

треугольник авс

к каждой стороне проводим серединный перпендикуляр

к стороне   ав - серединн. перпендикуляр -с

к стороне   вс - серединн. перпендикуляр -а

к стороне   ас - серединн. перпендикуляр -b

точка пересечения перпендикуляров о  - равноудалена от всех вершин

2)

угол авс

de - прямая пересекает стороны угла

строим биссектриссы 

bb1 - биссектриса < b

dd1 -биссектриса < bde

ee1 - биссектриса < deb

точка пересечения биссектрис о  равноудалена от  от прямой,пересекающей стороны угла и от сторон данного угла

3)

также   как и пункте 2)   через биссектрисы

треугольник авс

строим биссектриссы 

bb1 - биссектриса < b

aa1 -биссектриса < a

cc1 - биссектриса < c

точка пересечения биссектрис о  равноудалена    от трех сторон треугольника

теорема: касательная к окружности перпендикулярна к радиусу,проведённому в точку касания.

доказательство: пусть р- касательная к окружности с центром o,a -точка касания. докажем что р перендикулярна к радиусу ao

предположим, что это не так. тода радиус oa является нактонной к прямой р. так как перпендикуляр,проведенный из точки   o к прямой р ,меньше наклонной oa, то расстояние от центра   o  окружности до прямой р   меньше радиуса. следовательно, прямая р и окрудность   имеют две общие точки. но это протеворечит условию: прямая р- касательная

таким образом, прямая р перепендикулярна   к hадиусу oa