Дано: треугольник авс сд прямая сд не пенадлежит авс е середина ав ф середина вс угол дса=60° найти: угол между прямыми сд и еф доказать: сд и еф скрещивающиеся

Mc  - медиана к стороне с; ma - медиана к стороне a; mb - медиана к стороне b;   (2*mc)^2 = 2*(a^2 + b^2) - c^2; (2*mb)^2 = 2*(a^2 + c^2) - b^2; (2*ma)^2 = 2*(b^2 + c^2) - a^2; 4*(ma^2 + mb^2 + mc^2) =  2*a^2 + 2*b^2 - c^2 +  2*a^2 + 2*c^2 - b^2 +  2*b^2 + 2*c^2 - a^2 = 3*(b^2 + c^2 + a^2); это всё формулу для длины медианы  (2*mc)^2 = 2*(a^2 + b^2) - c^2; лучше всего запоминать именно в такой форме. получается она элементарно - если продолжить медиану mc  на "свою длину" за точку пересечения со стороной c, то  треугольник "достраивается" до параллелограмма, в нем диагонали равны с и 2*mc, а стороны a и  b. если теперь    записать теорему косинусов для двух треугольников - исходного с^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(ф); и треугольника со сторонами a, b и  2*mс (2*mс)^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b*cos(ф); и сложить, как раз и получится нужная формула. 

Вот если провести через эту вершину тупого угла прямую перпендикулярно меньшей диагонали, а ту самую сторону, к которой проведена (из этой вершины) высота, продлить до пересечения с этим перпендикуляром, то получится прямоугольный треугольник, у которого катеты равны диагоналям ромба, а высота к гипотенузе делит их на отрезки n и m + (m  +  n) = n + 2*m; (сама гипотенуза равна 2*(m + n)) отсюда высота к гипотенузе определяется так h^2 = n*(n + 2*m);   и меньшая диагональ ромба (которая соединяет вершины тупых углов)  n^2 + h^2 = d^2 = 2*n^2 + 2*m*n = (m + n)^2 + n^2 - m^2;   большая диагональ d^2 = 4*(m + n)^2 - d^2 =3*(m + n)^2 + m^2 - n^2;