Докажите, что четырехугольник mnkp, заданный координатами своих вершин m(2; 2), n(5; 3), k(6; 6), p(3; 5), является ромбом и вычислите его площадь

1) у ромба все стороны равны и диагонали точкой пересечения делятся пополам.  для начала найдем стороны по координатам:  

mn=√(5-2)²+(3-2)²=√10

nk=√(6-5)²+(6-3)²=√10

kp=√(3-6)²+(5-6)²=√10

pm=√(2-3)²+(2-5)²=√10

2)найдем середины диагоналей( или их точку пересечения):

х=х₁+х₂/2     xmk=2+6/2=4

у=у₁+у₂/2      ymk=2+6/2=4

 

xnp=5+3/2=4

ynp=3+5/2=4

 

так как все стороны равны и диагонали имеют общюю точку пересечения.  mnkp- ромб. 

теперь найдем его площадь( половина произведения его диагоналей)

найдем диагонали:

mk=√(6-2)²+(6-2)²=√32

np=√(3-5)²+(5-3)²=√8

s=½√32*√8=½*16=8

ответ: mnkp-ромб, s=8

Пусть ad  и be пересекаются в точке  k  в треугольнике abd be - и биссектриса и высота, то есть это равнобедренный треугольник, ab = bd,  и be - так же и медиана, то есть  ak = kd;   пусть теперь точка f лежит на продолжении ba за точку a, так что cf ii ad. так как bd - медиана, то в треугольнике fbc ad - средняя линия, а ca - медиана треугольника    fbc; само собой, be так же медиана этого равнобедренного  треугольника fbc (если её продолжить за точку e до пересечения с fc в точке g), то есть точка е делит ac, как это обычно и бывает с медианами: ae/ec = 1/2; более того, be/eg = 2/1, то есть be/bg = 2/3; а bk/kg = 1/1; то есть bk/bg = 1/2; отсюда bk/be = 3/4; и ke/be = 1/4; таким образом, ak = kd = 48; ke = 24; bk = 72; ab =  √(48^2 + 72^2) = 24√13; bc = 2*ab =  48 √13; ae =  √(48^2 + 24^2) = 24√5; ac = 3*ae = 72 √5; 665

1.диагонали ромба равны 14 и 48 см. найдите сторону ромба.

 

пусть сторона ромба  асумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратоввсех  его сторон.  стороны в ромбе равны.  4а²=14²+48²4а²=196+2304=2500а²=625а=25

2.в треугольнике два угла равны 45° и 90°, а большая стороны 20 см. найдите другие стороны треугольника.

 

сумма углов треугольника =180°второй острый его угол =45°,  следовательно,  треугольник равнобедренный прямоугольный.

большая сторона в прямоугольном треугольнике - его гипотенуза.

квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: с²=а²+ b²а=bс²=2а²20²=2а²а²=400: 2=200а=√200=10√2ответ:   а=b=10√2