Вчетырехугольнике abcd стороны bc и cd равные, а стороны ab и ad не равны. диагонали ac равна 8 , является биссектрисой угла bad равного 45 град , найти ab+ad

Использована  формула: косинус двойного т.к. угол острый (в первой четверти) -- квадратный корень со знаком "плюс" -- косинус угла

Заметим   что по   теореме синусов: m/sina=ac/sinb=ac/sind sinb=sind то   есть   возможно 2 варианта: 1) δb=δd; 2)δb=180-δd; положим что :   δb=δd  тогда из соображений постоянства суммы углов треугольника: δbca=δacd.   отсюда   следует   что   треугольники bca   и   acd равны по   стороне   и двум прилежащим углам.   но   тогда   ab=ad,что   противоречит   условию.   а   значит : δb+δd=180.   а   это   значит   что   около   4-угольника abcd можно   описать   окружность. (окружность   нарисована схематически   замкнутой линией) . а   отсюда в свою очередь   выходит   что             δс=180-45=135 откуда: δсbd=δсdb=45/2; то   опустив медиану   с   c на   bd (она   же и высота) очевидно   что   bd=2*m*cos(45/2) ну   и наконец самое интересное:   запишем   теорему птолемея   для вписанного в окружность   4 угольника: m*ab+m*ad=8*bd=16*m*cos(45/2) откуда после сокращения   на   m получим: ab+ad=16*cos(45/2) осталось   вспомнить тригонометрию: cos^2(45/2)=(1+cos45)/2=(1+√2/2)/2=(2+√2)/4 сos(45/2)=√(2+√2)/2 ab+ad=8*√(2+√2)

Дано: δ авс ∠с = 90° ак - биссектр. ак = 18 см км = 9 см найти:   ∠акв решение.       т.к. расстояние от точки  измеряется по перпендикуляру, то опустим его из (·) к  на гипотенузу ав и обозначим это расстояние км.       рассмотрим полученный δ акм, т.к.  ∠амк = 90°,то ак гипотенуза, а км - катет. поскольку, исходя из  условия, катет км = 9/18 = 1/2 ак, то  ∠кам = 30°.        т.к. по условию ак - биссектриса, то  ∠сак =∠кам = 30°       рассмотрим  δакс. по условию  ∠аск = 90°; а∠сак = 30°, значит,  ∠акс = 180° - 90° - 30° = 60°       искомый  ∠акв - смежный с  ∠акс, значит,  ∠акв = 180° - ∠акс = 180° - 60° = 120°  ответ: 120° подробнее - на -

Медиана может равняться соседней стороне. для построения примера возьмите равнобедренный треугольник dbc (db=bc) и возьмите точку a, симметричную точке c относительно точки d. треугольник abc будет искомым.  биссектриса может равняться соседней стороне. для построения примера возьмите равнобедренный треугольник dbc (db=bc) с углом b, меньшим 60 градусов. проведите прямую через точку b (точку пересечения этой прямой с прямой dc обозначим буквой a) так, чтобы угол abd равнялся углу dbc. треугольник abc искомый. высота может равняться соседней стороне. для построения примера возьмите прямоугольный треугольник abc (угол a    прямой); тогда высота, опущенная из вершины b, будет совпадать со стороной ab и тем самым будет равна этой стороне. если же потребовать, чтобы треугольник был непрямоугольным, такой пример невозможно, поскольку в этом случае высота будет короче соседних сторон.