Найти площадь ромба, диагонали которого равны 7 см и 9 см

ас = 10 см, вд = 10√3см.

у ромба все стороны равны. нам достаточно найти любую сторону. 

можна рассмотреть прямоугольник вос, где угол аов прямой, так как диагонали пересекатся под прямыми угламы и в точке пересечния т.о диагонали делятся пополам. тоесть вд перендикулярна ас и во = од, ас = ос.

во = 10 / 2 = 5 см

ао = (10√3) / 2 = 5√3 см

за теоремой пифагора найдем ав:

ав² = ао² + во²

ав² = 25 + 75 

ав² = 100

ав = 10см

найдем углы за формулой:

вд = 2 * ав * cos (угол д / 2)   или ас =  2 * ав * sin (угол д / 2)

  найдем через ас:

10 = 2 * 10 * sin (угол д / 2)

10 = 20 *  sin (угол д / 2)

sin (угол д / 2) = 10 / 20

sin (угол д / 2) = 1 / 2

угол д / 2 = 30градусов

угол д = 30 * 2

угол д = 60 гр

уромба противоположные угли равны.

сумма всех углов = 360гр

угол д = угол в   = 60 гр,

угол а = угол с = (360 - 2 * 60) / 2 = 120 гр

Если продлить секущие до пересечения, то получится треугольник, очевидно подобный исходному (уж точно с равными углами). далее, у этих треугольников общая вписанная окружность, и точки касания параллельных сторон  попарно лежат на противоположных концах диаметров  (это - главный момент доказательства, я конечно, мог бы и не заострять   поэтому при вращении на 180 ° вокруг центра окружности  точки касания "переходят в себя", следовательно, "переходят в себя" стороны треугольников (они перпендикулярны этим диаметрам).то есть эти треугольники равны, и - поскольку отрезки стороны между секущими "переходят" в отрезки секущих между сторонами (тоже момент интересный - точка пересечения однозначно определяется двумя прямыми, и если две прямые переходят в две другие прямые, то точка пересечения переходит в понятно : они тоже равны.  то есть это равенство отрезков не есть свойство только заданного треугольника, оно выполнено для произвольного треугольника.периметр каждого отсеченного треугольника равен сумме длин двух равных  отрезков касательных из соответствующей вершины (в этом утверждении равенство касательных использовано дважды - равны отрезки касательной из вершины а и из вершин шестиугольника, ближайших к а, поэтому периметр равен .. ну, понятно). если обозначить отрезки касательных из вершины а за x, из b за y, из с за z, тоx + y = 5; x + z = 7; y + z = 6; откуда x = 3; (можно и остальные найти легко, y = 2; z = 4)то есть периметр отсеченного треугольника с вершиной а равен 2*х = 6; периметр подобного ему исходного треугольника равен 5 + 6 + 7 = 18; то есть в 3 раза больше. поэтому площадь малого треугольника равна 1/9 площади авс.осталось сосчитать площадь авс, например, по формуле герона.p = (5 + 6 + 7)/2 = 9; p - 5 = 4; p - 6 = 3; p - 7 = 2;   s^2 = 9*4*3*2; s = 6 √6; поэтому площадь малого треугольника 2 √6/3;

Если обозначить h = ch; y = ah; x = nh; c = ab; то n - середина гипотенузы ав. с^2 = a^2 + b^2;   h = a*b/c; (площадь можно записать, как a*b/2; а можно как c*h/2; ) из подобия треугольников авс и снв;   y/b = h/a; то есть y = b*h/a; x = y - c/2;   площадь сnн равна x*h/2 = (y - c/2)*h/2 = y*h/2 - c*h/4 = (b/a)*h^2/2 - a*b/4 = (b/2a)*a^2*b^2/(b^2 + a^2) - a*b/4  = a*b^3/(2*(b^2 + a^2)) - a*b/4 = a*b/(4*(b^2 + a^2)*(2*b^2 - b^2 - a^2) = = (a*b/4)*(b^2 - a^2)/(b^2 + a^2); это площадь cnh. я не заметил, надо найти площадь не этого треугольника. ну так найду еще и этого : )) м - середина св, площадь внм равна половине площади снв, площадь снв равна z*h/2; где z = bh; то есть надо найти s = z*h/4; опять таки из подобия снв и асн  z/a = h/b; h/a = y/b;   то есть y/z = (b/a)^2;   c = z*(1 + (b/a)^2);   ch/2 = (z*h/2)*(1 + (b/a)^2);   a*b/2 = (2*s)*(1 + (b/a)^2);   s = (a*b/4)/(1 + (b/a)^2)