Востроугольном треугольнике авс величина угла при вершине а относится к величине угла при вершине с как 7: 6. найдите углы данного треугольника, если отрезок, соединяющий центры его вписанной и описанной окружностей, виден из вершины в под углом 5 градусов.

Я строю описанную окружность, и провожу из точки B диаметр этой окружности BB1 и биссектрису BM (точки B1 и M лежат на окружности, причем M - середина дуги AC, что в решении не пригодится).
По условию угол между ними 5°;
Если соединить другой конец диаметра B1 с вершиной A, то ∠BB1A = ∠BCA;
Если обозначить ∠BCA = 6x; ∠BAC = 7x; то ∠MBA = (180° - 6x - 7x)/2 = 90° - 13x/2;
Ну, и ∠B1AB = 90°;
Получается ∠B1BA - ∠MBA = (90° - 6x) - (90° - 13x/2) = 5°; x = 10°
углы 60°, 70° и 50°

Обозначим коэффициент пропорциональности через k, тогда диагонали ромба 3k и  4k. С одной стороны площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то есть:
Sabcd = 1/2 d₁ * d₂ = 1/2 *3k *4k = 6k²
C другой стороны площадь ромба равна произведению стороны на высоту, то есть:
             B                                   Sabcd = AH * BC
                                                  OC = 1,5k         BO = 2k
                     H                           Из ΔBOC по теореме Пифагора
                                                  BC² = (1,5k)² + (2k)² = 6,25k²
A           O               C                 BC = 2,5k
                                                  Sabcd = 3,6 * 2,5k = 9k
                                                  Следовательно
             D                                   6k² = 9k
                                                   2k = 3
                                                   k = 1,5
Значит BC = 2,5 * 1,5 = 3,75
Pabcd = 4 * 3,75 = 15
             

1)Пусть С- прямой угол в прямоугольном треугольнике АВС, тогда СН-высота проведенная к гипотенузе, СМ- биссектриса,проведенная к гипотенузе.
2)По условию сказано, что угол между СМ и СН равен 15 градусов.
3)По свойству биссектрисы угол АСМ= углу МСВ=45 градусов(т.к С по условию 90),значит, так как угол НСМ=15 градусов, а угол НСМ+угол АСН=45 градусов, то угол АСН равен 30 градусам.
4)Так как СН высота, то угол СНА равен 90 градусов, следовательно угол САН=60 градусов( по теореме о сумме углов треугольника).
5)Значит, в треугольнике АВС угол В = 180-90-60=30 градусов( по теореме о сумме углов треугольника)
6) Так как в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы, то АС=3 см
7) По теореме Пифагора СВ= 3 корня из 3
ответ: 3 и 3корня из 3