Начертите два параллельных отрезка, длина которых равны.начертите точку, являющюеся центром симетрии, при котором один отрезок отображается на другой.

Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. пословица. анри пуанкаре сказал, что — это искусство называть разные вещи одина- ковыми именами. осмелимся добавить: а одинаковые вещи — разными именами. то есть один и тот же объект можно описывать на разных языках, видеть разными глазами. при этом непонятное ранее утверждение может стать очевидным, а к сложной может отыскаться лёгкое решение. на школьном уровне эта идея обычно реализуется как перевод на язык арифме- тических (текстовые решают с уравнений) и (координатный и векторный методы). такой перевод позволяет алгоритмизировать реше- ние . заметим, что алгоритмизация не всегда полезна: не нужно ничего изобретать, решение идёт по накатанной схеме. “решать с уравнений , допускающую простое арифметическое решение, безнравственно.” [1, с. 46] менее известны другие случаи, когда арифметические и удобно решать на языке. таким примерам и посвящена эта статья. доказать значит сделать очевидным ключевые факты полезно формулировать на разных языках, чтобы каждый ученик усваивал их на свойственном ему языке. для многих вовремя показанная картинка может раз и навсегда навести ясность и спасти от типичных ошибок. 1. переместительный закон сложения для положительных чисел можно пояснять так: поезд проехал a км от москвы до твери и b км от твери до петербурга. на обратном пути он проехал те же расстояния в обратном порядке, и общий путь был тот же самый. значит, a + b = b + a. переместительный закон сложения для целых чисел хорошо пояснять с дви- жения лифта. например, (+3) + (−5) означает, что лифт поехал сначала на 3 этажа вверх, а потом на 5 вниз. а (−5) + (+3) означает, что лифт сначала поехал на 5 этажей вниз, а потом на 3 вверх. ясно, что в итоге он переместился на одно и то же число этажей в одну и ту же сторону3. тот же пуанкаре говорил, что научиться складывать дроби можно двумя способами: разрезая яблоки и . . разрезая пироги. в статье и на доске проще резать прямоугольники (“шоколадки”), но суть будет та жеспросите пятиклассника, чему равен квадрат суммы — и он наверняка ответит “сумме квадратов”. переубедить его проще всего с картинки 6: считаем площадь боль- шого квадрата двумя способами. говорят, когда руссо учился в школе, его убедило только такое доказательство. можно придумать картинки для доказательства разложения квад- рата суммы трёх слагаемых, для разности квадратов и даже для куба суммы [2]. правда, последнее является скорее тренировкой пространственного воображения, но это тоже по- лезно. 5. формула для производной произведения двух функций, как и формула суммы квад- ратов, не принадлежит к числу интуитивно ясных: хочется по аналогии с производнойсуммы сказать “равна произведению производных”. в эту ловушку попался сначала да- же. . лейбниц, один из создателей дифференциального исчисления.

Периметр прямоугольника p = a+ b + a + b = 2a + 2b площадь прямоугольника s = a * b 2a + 2b = 20 a + b = 10 b = 10 - a a * b = 24 a * (10 - a) = 24 10a - a² = 24 a² - 10a + 24 = 0 d = (-10)² - 4 * 1 * 24 = 100 - 96 = 4 > 0  ⇒ уравнение имеет 2 корня a₁ = (10 - 2) / 2 = 4 (см) a₂ = (10 + 2) / 2 = 6 (см) при a = 4, b = 10 - 4 = 6 (см) при а = 6, b = 10 - 6 = 4 (см)  стороны прямоугольника равны 4 см и 6 см периметр прямоугольника p = 2*4 + 2*6 = 20 (cм) площадь прямоугольника s = 4*6 = 24 (cм)