Решить, . основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 2 см, а его измерения относятся как 1 : 1 : 2. найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

Сторона квадрата-основания х, высота параллелепипеда  2х диагональ квадрата основания х√2 диагональ параллелепипеда  д² = (2х)² + (х√2)² = 6х² известно, что д = 2см, тогда 2 =  6х² > х = 1/√3 - сторона квадрата-основания 2х = 2/√3 - это высота параллелепипеда sin a = 2/√3 : 2 = 1/√3 = √3  / 3

Пример: отрезок вв1  – медиана треугольника  . выразите через векторы    и    векторы  ,  ,    и  . отметим, что векторы    и    неколлинеарны, то есть прямые ав и ас не параллельны. в дальнейшем мы узнаем, что любой вектор может быть выражен через два неколлинеарных вектора. выразим первый вектор :   , т. к. по условию вв1  – медиана треугольника, значит, векторы    и    имеют равные модули, кроме того, очевидно, что они коллинеарны и при этом сонаправлены, значит, данные вектора равны.

1)длины сторон треугольника равны a, b, c. между этими числами имеется закономерность: a2 =b2+c2+bc. чему равен угол, лежащий против стороны a ? решение: пусть против стороны а лежит угол а. по теореме косинусов а2=b2+c2-2bc*cosa по условию a2=b2+c2+bc. значит bc=-2bc*cosa. отсюда cosa=-1/2. a=1202) найдите длину стороны ac треугольника abc, где угол b тупой, ab=13, bc=2, sinb=5/13решение: по теореме косинусов ac2=ab2+bc2-2*ab*bc*cosb cos2b=1-sin2b=1-25/169=144/169  так как по условию угол в - тупой, то cosb=-12/13 далее подставляем известные значения в формулу теоремы косинусов: ac2= 132+22-2*13*2*(-12/13)=221  следовательно,  ac=√221