Начертите ромб abcd. постройте образ этого ромба а) при симметрии относительно точки c б) при симметрии относительно прямой ab в) при паролельном переносе на вектор ас г) при повороте вокруг точки d на 60° по часовой стрелке

1. рассмотрим угол авс. он смежный с внешним углов в 150°, значит, равен 180°-150°=30°. в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. то есть, ас=0,5ав, 4=0,5ав, откуда ав=8. ответ: 8 см 4. рассмотрим угол всd. он смежный с внешним углом при вершине с, сумма смежных углов всегда 180°, поэтому он равен 180°-150°=30°. опять же, катет напротив угла в 30° равен половине гипотенузы, поэтому вd=вс: 2=24: 2=12. рассмотрим треугольник авd. в нём угол ваd смежный с внешним углом при вершине а, поэтому он равен 180°-135°=45°. найдём угол авd по теореме о сумме острых углов прямоугольного треугольника, он равен 90°-45°=45°. таким образом, углы при основании треугольника abd равны, значит, он равнобедренный. боковые стороны у таких треугольников тоже равны, значит ad=bd=12. ответ: 12

Втрапецию abcd вписана окружность, которая касается боковой стороны ab в точке k. известно, что ak =8 , kb= 3. найдите радиус окружности.  решение возможно в двух вариантах: 1) r =  √(8*3) =  √24 = 2√6 ед (на основании свойства высоты из прямого угла). 2) примем о - центр вписанной окружности,                      х - отрезок во.                     у - отрезок ао. составляем систему из трёх уравнений: {9 + r² = x²; {64 + r² = y²; {x² + y² = (8+3)². подставим в третье уравнение x² + y² = 9 + r² + 64 + r² = 2r² + 73. получим 2r² + 73 = 121,                 r² = (121 - 73)/2 = 48/2 = 24. тогда        r =  √24 = 2√6 ед.