Диагонали ромба равны 16 см и 12 см. найти синус тупого угла ромба.

Пусть АВСМ - ромб, АС = 10 и ВМ = 16 - диагонали, 
О - точка пересечения диагоналей. 
Тогда АО = СО = 1/2 АС = 5, 
ВО = МО = 1/2 ВМ = 8, 
прямоугольный треугольник АОВ имеет гипотенузу 
АВ = корень(5^2 + 8^2) = корень(89). 
И так, сторона ромба корень(89). 
По теореме косинусов находим косинус угла 
противолежащего основанию в равнобедренном 
треугольнике: 
АВС 
АС^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB*BC*cos(ABC) 
cos(ABC) = (AB^2 + BC^2 - АС^2) / 2AB*BC 
cos(ABC) = (89 + 89 - 100) / (2*89) 
cos(ABC) = 39/89. 
Аналогично для треугольника АВМ 
cos(BAM) = (89 + 89 - 256) / (2*89) 
cos(BAM) = -39/89. 
ответ: arccos(39/89), arccos(-39/89)

Сделаем рисунок к задаче.

Обозначим вершины параллеограмма привычными буквами АВСD.

Проведем биссектрисы углов В и С, которые пересекутся на АD в точке М.

Биссектрисы образовали со сторонами параллелограмма треугольники, причем

∠ СВМ= ∠ АМВ  по свойству углов при пересечении параллельных прямых и секущей, а

∠ АВМ= ∠МВС -  как половины угла В.

То же самое с углами ВСМ и СМD.

Раз углы при основании ВМ  Δ АВМ и основании СМ Δ СМD равны,

оба этих треугольника - равнобедренные.

В треугольнике АВМ сторона АВ равна стороне АМ,
В треугольнике МDС сторона МD равна стороне СD.

Но АВСD- параллелограмм, и стороны АВ и CD равны по определению.

Следовательно, АМ=MD и АD=2АВ ( или 2 CD, что одно и то же)

Р АВСD= 2( АВ+АD) Подставим в значение периметра 2 АВ вместо AD.
Р АВСD= 2( АВ+2АВ)
30= 6 АВ
АВ=5 см
Ответ: Длина короткой стороны параллелограмма равна 5 см

8см

Объяснение:

Теорема: Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны:

1)  BM = BF        MD = DL

   FA = KA        EK = LE

2) Pcde = CD + DE + CE  =

=  CD + (DL + LE) + CE = (CD  + MD) + (EK +CE)  = CM + CK =

=  (BC - BM) + (AC - AK)

Т.к. ΔАВС - равнобедренный, то

ВС = АС = (Pabc - AB)/2 = (20 - 6)/2 = 7(cм)

Pcde = ВС + АС - ВМ - АК = 2 * 7 - ВМ - АК  = 14 - ВМ - АК    

3) Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе. Но в равнобедренном треугольнике высота, а так же медиана и биссектриса, проведенные к основанию совпадают, следовательно,  СF -  медиана  и делит АВ пополам:

ВF = FA = 6 / 2 = 3 (см)

4) Т.к. отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то

BF = BM = 3(см)

FA = AK = 3(см)

Pcde = 14- ВМ - АК     = 14 -2*3 = 8(см)