Диагонали прямоугольника сdеf пересекаются в точке к. найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 28 см, а периметры треугольников сdк и dек равны 16 см и 18 см.

P(DKC) = CD + CK + DK
P(DKE) = DE + KE + DK
как видно, и в том, и в другом периметре фигурирует сторона DK, а CK = KE = DK. Найдем сторону DK. Диагональ СЕ делит прямоугольник на два треугольника. Периметр треугольника CDE = периметру треугольника CEF = половине периметра прямоугольника CDEF = 28/2 = 14 cм. В свою очередь, периметр CDE равен также сумме периметров DKC и DKE минус 4DK, т.е
14 = 16 + 18 - 4DK
4DK = 16 + 18 - 14
DK = 5 см
Диагонали, при пересечении друг с другом, делятся пополам и образуют равнобедренные треугольники, значит DK = CK = КЕ = КF = 5 см.
Теперь находим стороны прямоугольника.
DС = ЕF = 16 - 5 - 5 = 6 см
DE = CF = 18 - 5 - 5 = 8 см
Проверка: Р(CDEF) = (6 + 8) * 2 = 28 см

Нарисуй горизонтальный  прямоугольник ABCD (точка А внизу слева, В вверху слева, С вверху справа, D внизу справа). Проведи диагонали. Обозначь точку пересечения буквой О.
Рассмотрим треугольник (буду сокращать t, а ты обозначаешь треугольным значком) АСD. Он прямоугольный (свойства диагоналей), значит угол (далее <) CAD+<ACD=90 градусов. Составим уравнение согласно отношению углов условию задачи: 2а+7а=90 Находим, что <COD=20 град., <ACD=70 град.
Диагонали прямоугольника делятся в центре пополам (свойства диаг. прям.), а противоположные стороны равны (свойства прямоуг.) Значит, <BOA=<COD, а <BOC=<AOD (равенство треугол. по трем сторонам) и к тому же равносторонние. Несложно вычислить, что <COD=<BOA=180-(<ACD+<CDB)=180-(70+70)=40 град.
<BOD развернутый (лучи лежат на диагонали прямоугольника) Значит <BOC=AOD=<BOD-<COD=180-40=140 град.
ответ: 40 град., 140 град.

Найдем вектора и их модули:
Вектор АВ{Xb-Xa;Yb-Ya} или AB{-2;2}. |AB|=√(-2²+2²)=2√2.
Вектор ВC{Xc-Xb;Yc-Yb} или BC{3;3}. |AB|=√(3²+3²)=3√2.
Вектор CD{Xd-Xc;Yd-Yc} или CD{2;-2}. |AB|=√(2²+(-2²))=2√2.
Вектор АD{Xd-Xa;Yd-Ya} или AD{3;3}. |AB|=√(3²+3²)=3√2.
Итак, противоположные стороны четырехугольника равны.
Проверим углы.
CosA=(Xab*Xad+Yab*Yad)/|AB|*|AD|  = (-6+6)/|AB|*|AD|  =0,
Значит <A=90°
CosB=(Xab*Xbc+Yab*Ybc)/|AB|*|BC|  = (-6+6)/|AB|*|BC|  =0,
Значит <B=90°.
Следовательно, четырехугольник ABCD - прямоугольник, что и требовалось доказать.