С. найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, если один из его углов равен 120 градусов, а расстояние от центра окружности до вершины этого угла равно с. нужно решение

 <ABC =120° ; BO = c ; O  - центр окружности  вписанной в треугольник 
Центр окружности вписанной в треугольник  ,зта точка пересечения биссектрис углов .значит <ABO = <COB =60°. Радиус окружности зта длина 
перпендикуляра  OD к  стороне ВA  те  r =OD .
В треугольнике  BOD: BO = c  ; <ABO = 60° ;  <BOD =30°⇒BD = BO/2 =c/2.
r =√(c² -(c/2)²) =(c√3)/2.

ответ :  (c√3)/2 
  .

№1
Рассмотрим треугольники MON и KOF, в них NO=OF (по условию), MO=OK (т.к. NO - биссиктриса), угол MON= углу FOK (как вертикальные), значит треугольники равны (по двум сторонам и углу между ними)
№2
Рассмотрим треугольники ABP и CBQ, в них AP=QC (по условию), AB=BC (по условию), угол BAP= углу BCQ (в равнобедренных треугольниках углы при основании равны), следовательно треугольники ABP и CBQ равны. Из равенства треугольников берем равенство соответственных сторон BP и BQ, следовательно треугольник BPQ равнобедренный т.к. BP=BQ

Для начала нужно начертить ромб ABCD.
Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Отметим на нём диагонали AC и BD. 
Точка пересечения диагоналей О - центр вписанной окружности.
Проведем к прямой AB высоту из точки O. 
OH - радиус вписанной окружности на чертеже
Радиус, вписанной в ромб, окружности можно найти по формуле:


R - радиус, S - площадь ромба, Р - полупериметр ромба.

У нас неизвестно S. Найдём по формуле площади ромба по стороне и углу: площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла.



 =  =  =  

Т.к. полупериметр ромба равен
Р - полупериметр, а - сторона ромба.



Подставляем значения в формулу и считаем:

 
-----------------------------------------------------------------------
ответ: R = 3