60 радиус окружности вписанной в равнобедренный треугольник abc (ab=bc) равен 12 см, а расстояние от центра окружности до вершины b 20 см. найдите площадь abc

Центр вписанной окружности лежит на  пересечение  биссектрис углов тр -ка ,
но  поскольку  треугольник равнобедренный  BA = BC , то  биссектриса  BL одновременно является  и медианой  и  высотой поэтому  .
S=1/2*AC* BL ; 
S =AL*BL .
BL =BO +OL =20+r =20+12 =32   ;   O_  центр вписанной окружности . 
BT =√(BO² -OT²) =√(20² -12²) =16    ; OT ┴ AB .
Δ BLA  подобен    ΔBTO      разными можно  
AL / OT =BL / BT   ;
AL =OT *BL / BT ;
AL =12*32/16 =24.
S =24*32 =768 
: 768

  или  (  tqB/2 = AL / BL =OT / BT ) 

 или  AB / AL = BO / OL    ( свойства биссектрисы внутреннего угла тр ка)
AB  =AT+TB  =AL +TB  (  AT = AL  касательные провед к  окруж  из точки  A)
(AL +TB) / AL = BO / OL  ;
1 + TB / AL = BO / OL   ;
1 + 16/ AL =20 / 12  ⇒AL =24.

Начнем с самого простого:
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности (свойство). Но можно и так: диагонали правильного шестиугольника разбивают описанную окружность на 6 равных равносторонних треугольника (см. рисунок). Поэтому сторона этого шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
Rш=10см.
Диагональ правильного четырехугольника (квадрата) равна диаметру описанной около него окружности (свойство). D=20см.
Тогда его сторона равна Rк= 10√2см.
Сторона правильного треугольника равна  R*√3 (формула). Или в нашем случае 10√3.
Но можно и без формулы: по теореме косинусов.
a² = 2*R²-2R²*Cos120° или a²=200*(1+1/2) = 100*3. a=√300 = 10√3см.
ответ: сторона треугольника равна 10√3см, четырехугольника10√2см и шестиугольника 10см.

Пусть ABCD - данный параллелограмм, а A', B', C', D' - точки, в которые переходят A, B, C, D. Т.к. при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную ей плоскость (или в себя), то плоскость α'В'С'D' параллельна плоскости αВCD.Т. к. при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то AA' || BB' || CC' || DD' и AA' = BB' = CC' = DD'.Так что в четырехугольнике AA'D'D противолежащие стороны параллельны и равны, а, значит, AA'D'D — параллелограмм. Тогда A'D' = AD и A'D' || AD.Аналогично A'B' = AB и A'B' || AB; C'D' = CD и C'D' || CD; B'C' = BC и B'C' || BC.Т. к. две прямые, параллельные третьей, параллельны, то получаем, что A'D' || B'C', A'B' || C'D'.А, значит, A'B'C'D' — параллелограмм, равный параллелограмму ABCD (т.к. соответствующие стороны равны). Что и требовалось доказать.