Знайдіть об'єм конуса, якщо кут між його твірною і висотою дорівнює альфа, а середина твірної віддалена від осі на відстань а.

Рассмотрим прямоугольный ΔОSB, в котором катет SО (высота конуса), катет ОВ (радиус основания конуса), гипотенуза SВ (образующая конуса).
По условию угол между образующей  и высотой равняется α, т.е. <OSB=α.
Середина образующей (точка С) удалена от оси ОS на расстояние а, это значит АС=а, SС=СВ и АС перпендикулярно SО и параллельно ОВ.
Исходя из т.Фалеса (если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и  на другой стороне)  SА=АО, а это значит, что АС является средней линией ΔОSВ (она соединяет середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине), тогда ОВ=2АС=2a.
SB=OB/sin α=2a/sin α
SO= SB*cos α=2a*cos α/sin α=2а*сtg α
Объем конуса V= π*R²*H/3=π*ОВ²*SO/3=π*4a²*2a*ctg α/3=8a³*ctg α/3

СТОРОНЫ КВАДРАТА КАСАЮТСЯ СФЕРЫ. Найдите расстояние от плоскости квадрата др центра сферы , если стороны квадрата равны 4,а радиус сферы равен√5
-----------
Плоскость квадрата пересекает поверхность сферы по окружности, как и любая плоскость, пересекающая сферу.
Ррасстояние от плоскости квадрата др центра сферы - перпендикуляр, совединяющий центр О сферы с точкой пересечения диагоналей квадрата, т.е. с центром О1 вписанной в него окружности.
Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны. 
r=4:2=2 
Соединим центр сферы с точкой касания А  сферы со стороной квадрата и точкой пересечения его диагоналей. 
Треугольник , ОАО1- прямоугольный. 
ОО1- искомое расстояние.
По т.Пифагора 
ОА²-О1А²=ОО1²
5-4=1
ОО1=√1=1

Длина основания - 6см, длины боковых сторон - 14см. Доказательство от противного - строим произвольный равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и AC. Из вершины А строим высоту AH, которая будет являться так же медианой и биссектрисой. Отсюда получаем, что треугольник ABH=ACH; BH=CH=1/2BC. Предположим, что длина основания BC=14см, то BH=CH=7см, а AB=AC=6см. Найдём синус угла BAH
sin(BAH)=BH/AB=7/6>1
Синус угла не может быть больше 1, значит такой треугольник невозможен. Значит основание BC=6см, а стороны AB=AC=14см. Для проверки можем найти синус того же угла при новых условиях, он будет равен sin(BAH)=3/14, это допустимое значение. Значит основание треугольника - 6см, а боковые стороны - 14см.