Доказать, что треугольник построенный из медиан данного треугольника имеет площадь равную 3/4 площади данного треугольника.

пусть стороны треугольника равны a,b и c, a медианы   ma, mb и mc.

выразим медианы треугольника через их стороны. будем иметь

      ma=sqrt((2b^2+2c^2-a^2)/4)

      mb=sqrt((2a^2+2c^2-b^2)/4)

      mc=sqrt((2a^2+2b^2-c^2)/4)

возведем правые и левые части этих равенств в квадрат

    ma^2=(2b^2+2c^2-a^2)/4

      mb^2=(2a^2+2c^2-b^2)/4

    mc^2=(2a^2+2b^2-c^2)/4

сложим правые и левые части этих равенств

    ma^2+mb^2+mc^2=(2b^2+2c^2-a^2)/4 +  (2a^2+2c^2-b^2)/4 +  (2a^2+2b^2-c^2)/4 = (3/4)*(a^2+b^2+c^2)

что и следовало доказать

Треуг.  авс  -  прямоугольный,  угол а =90, ah-  высота,  ab- биссектрисса, am  - медиана угол  hac=90  -  угол  hca=  угол abc,  так  как  треугол  ahc -  прямоугол. угол  bah=45-угол  abc угол  bab=45 угол  mab=угол  abc,  так  как  am-  медиана  из  прямого угла,  она  равна  bm -  это  свойство  и  значит  треугол  amb  -  равнобедр. тогда  угол  bam=угол  bab - угол abc=  45  - угол  abc след.,  угол  bah=  угол  bam,  ab  -  биссектриса  угла  ham,  что  и  требовалось  доказать

Расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы - это высота из прямого угла, с   которой образовались 2 прямоугольных треугольника внутри большого.  теперь данный катет будет являться гипотенузой, а искомое расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы большого треугольника - это катет, лежащий против угла в 30°, который равен половине гипотенузы, т. е. 34 см : 2 = 17 см ответ: h = 17 см  дано:   тр-к авс; < c = 90°  < b = 30°  bc = 34 см ck   |   ab    ск - ?     решение рассмотрим тр-к вск - прямоугольный, < скв = 90° ;   < в = 30° ;   вс = 34 см - гипотенуза; ск - катет,против угла в 30°  ск = 1/2 * вс  ск = 1/2 * 34 см = 17 см  ответ: ск = 17 см