Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу

Ну, этот признак вытекает из признака равенства двух треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам. Один прилежащий угол у катета равен 90°. Поэтому если прилежащий к катету ОСТРЫЙ угол одного треугольника равен прилежащему к катету ОСТРЫЙ угол другого треугольника и катеты эти равны, то такие ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ треугольники равны, что и требовалось доказать.

раз площади ∆ADC и ∆CDB относятся как 1 :3, то 
отрезки AD и DB тоже относятся как 1 :3 (так как у этих треугольников одна высота)
AD/DB = 1/3
∆ACD подобен ∆CDB (высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных)
<A = <DCB (сходственные углы подобных треугольников)
обозначим СВ как х
тогда
tgA = CD/AD = x/1
tgDCB = DB/CD = 3/x
раз углы равны, то
tgA = tgDCB
x/1 = 3/x
x^2 = 3
x = √3
tgA = x/1 = √3

<A = arctg(tgA) = 60 ° 
<B = 180 - 90 - <A = 30°
ну а <C у нас прямой по условию

раз площади ∆ADC и ∆CDB относятся как 1 :3, то 
отрезки AD и DB тоже относятся как 1 :3 (так как у этих треугольников одна высота)
AD/DB = 1/3
∆ACD подобен ∆CDB (высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных)
<A = <DCB (сходственные углы подобных треугольников)
обозначим СВ как х
тогда
tgA = CD/AD = x/1
tgDCB = DB/CD = 3/x
раз углы равны, то
tgA = tgDCB
x/1 = 3/x
x^2 = 3
x = √3
tgA = x/1 = √3

<A = arctg(tgA) = 60 ° 
<B = 180 - 90 - <A = 30°
ну а <C у нас прямой по условию