Стороны параллелограмма равны 12 см и 20 см, меньшая высота 15 см. найдите его большую высоту.

Найдём через площадь: S=ah=20*15=300 см²
Найдём высоту: h=S/a=300/12=25 см
ответ: 25 см

A=12,b=20,h(b)=15
S=ah(a)=bh(b)
h(a)=20*15/12=25см

Рассмотрим треугольник, образованный высотой, биссектрисой и гипотенузой. косинус угла между высотой и биссектрисой будет равен
cos(fi)=h/l
fi = arccos(h/l)
угол между высотой и меньшим катетов составит
gamma=45-arccos(h/l)
этот же угол будет являться наименьшим углом исходного треугольника, в силу подобия исходному двух малы треугольников, на которые высота делит исходный.
для нахождения площади разобьём исходный треугольник на три фигуры -
1. квадрат, построенный на биссектрисе как диагонали
s1=1/2*l^2
2. длинный треугольник с катетом l/√2 и противолежащим ему углом gamma
его площадь
s2=1/2*l/√2*l/√2/tg(gamma)=l^2/4*ctg(gamma)
3. треугольник покороче, с катетом l/√2 и прилежащим к нему углом gamma
s3=l^2/4*tg(gamma)
суммарная площадь
s=l^2/4(2+tg(gamma)+ctg(gamma))
подставим наши числовые данные
gamma=45-arccos(5/7)=0.5847°
остренький угол :)
s=1/16(2+tg(0.5847°)+ctg(0.5847°))=12.25

трапеция АБСД, ВС и АД - основания АБ перпендикулярна ВС и АД 
точки касания окружности на АБ - К, на БС - Н, на СД-М и на ДА - Л 
центр окружности О. ОС = 15, ОД = 20 
угол С+уголД = 180 т.к. ВС и АД параллельны 
из Д две касательные АД и ДС значит ОД - биссектриса угла Д, аналогично ОС биссектриса угла С 
получаем что в треугольнике ОСД угол ОСД+угол ОДС = 90 следовательно угол СОД = 180-90=90 значит треугольник ОСД - прямоугольный. найдем по теореме Пифагора СД = корень(ОС*ОС+ОД*ОД) = 25 
треугольник СМО и СОД подобны (по равенству двух углов угол ОСМ - общий, угол СОД = 90 угол ОМС = 90 (угол между радиусом и касательной)) ОМ/ОС = ОД/СД отсюда ОМ = ОД*ОС/СД = 15*20/25 = 12 это наш радиус 
АБ = 2r, БН=БК =r (как две касательные из одной точки) также НС=МС, МД=ЛД, АЛ=АК = r 
найдем половину периметра = (4r+2*СД)/2 = 2r+СД = 24+25 = 49 
радиус вписанной окружности по формуле равен r=s/p где S -площадь многоугольника p- полупериметр отсюда S=p*r = 49*12 = 588