Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 1: 2: 3. найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 17. решить, , если можно с рисунком.

Вписанный треугольник АВС в окружность с центром О.
Градусная мера всей окружности 360°.
Найдем градусные меры трех дуг, для этого обозначим одну часть через х, получится уравнение:
х+2х+3х=360
х=360/6=60°
Получается градусная мера дуги АВ=60°, дуги ВС=120°, дуги АС= 180°.
Углы АВС, ВСА и САВ являются вписанными углами (вершины их лежат на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность). Градусная мера вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается.
<АВС =180/2=90°, <ВСА =60/2=30° и <САВ =120/2=60°.
Исходя из того, что <АВС =90°, делаем вывод, что ΔАВС - прямоугольный и гипотенуза АС является диаметром окружности (вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой).
Напротив меньшей стороны лежит меньший угол, значит катет АВ=17.
Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, следовательно радиус окружности ОА=ОВ=ОС=АВ=17
ответ: 17

1.

По теореме косинусов найдём угол MON

MN² = OM² + ON² - 2*OM*ON*cos(∠MON)

12² = 20² + 20² - 2*20*20*cos(∠MON)

144 = 400 + 400 - 800*cos(∠MON)

656 = 800*cos(∠MON)

cos(∠MON) = 41/50

∠MON = arccos(41/50)

2.

Площaдь треугольника MON

S(ΔMON) = 1/2*OM*ON*sin(∠MON)

sin(∠MON) = √(1-cos²(∠MON)) = √(1 - 41²/50²) = √(2500 - 1681)/50 = √819 / 50 = 3√91/50

S(ΔMON) = 1/2*20*20*3√91/50 = 12√91

3.

Площадь кругового сектора MON

S(∪MON) = ON²*∠MON/2 = 20²/2*arccos(41/50) = 200*arccos(41/50)

4.

Площадь заштрихованной фигуры

S = S(∪MON) - S(ΔMON) = 200*arccos(41/50) - 12√91 ≈ 7.404

Дано :

KP || NM.

∡NKP = 120°, ∡NKM = 90°.

Найти :

∡N = ?

∡M = ?

При пересечении двух параллельных прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Рассмотрим параллельные прямые КР и NM при секущей KN. По выше сказанному ∡N + ∡NKP = 180°⇒∡N = 180° - ∡NKP = 180° - 120° = 60°.

Рассмотрим эти же прямые при секущей КМ.

∡NKM + ∡MKP = ∡NKP⇒∡MKP = ∡NKP - ∡NKM = 120° - 90° = 30°.

При пересечении двух параллельных прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны.

Следовательно, ∡MKP = ∡M = 30°.

∡N = 60°, ∡M = 30°.