Периметр параллелограмма равен 40. найдите радиусы вписанной и описанной окружностей, если известно, что эти окружности существуют.

Если смежные стороны параллелограмма (с общей вершиной)))
обозначить a и b, то
вписанная окружность существует при условии:
2a = 2b, т.е. параллелограмм должен быть ромбом (a=b)
из периметра находим сторону 40/4 = 10
описанная окружность существует при условии:
суммы противоположных углов равны и = 180°,
у параллелограмма противоположные углы равны,
получается, что один угол параллелограмма 180/2 = 90°
т.е. ромб должен быть квадратом
для вписанного квадрата его диагональ --диаметр описанной окружности)))
находим диагональ по т.Пифагора = 10√2
радиус описанной окружности = 5√2
для описанного квадрата его сторона --диаметр вписанной окружности)))
радиус вписанной окружности = 10/2 = 5

Пусть H - середина ABCD, MH - высота пирамиды MABCD,

MH - медиана, биссектриса и высоты треугольника DBM => H - середина DB=> HL - средняя линия треугольника DMB => 2LH=DH;

AH перпендикулярно BD ( как диагонали квадрата),

AH перпендикулярно МH ( т.к. МH - высота пирамиды) 

DB пересекает MH в точке H => AH перпендикулярна плоскости DMB, значит угол HLA = 60° (по условию),

CA = √(CB^2+AB^2)=6√2 (по теореме Пифагора)

HA=1/2CA=3√2

LM=AH/tg60° = √6

DM=2LM=2√6

MH=√(DM^2-DH^2)=√6 (по теореме Пифагора)

ответ: √6

Попробую объяснить без чертежа.

У тебя есть пирамида с вершиной M и основанием ABCD.

Для начала проводим вершину (MO, где О- центр четырехугольника); эта высоты делит диагонали 4-ехугольника пополам (АО=ОС, BO=OD).

Перенесем теперь прямую DM в плоскости DMB ровно на половину диагонали ABCD параллельно ее предыдущему положению.

Теперь прямая DM стала прямой OL.

Прямые AL и OL пересекаются теперь в точке L.

Получился треугольник AOL , где угол AOL равен 90 градусов (доказывать долго просто поверь), а угол OAL равен 30 градусов, так как другой угол (угол OLA) равен 60 градусов по условию задачи.

Половина диагонали четырехугольника равна 3 корней из 2.

Другой катет (первый катет это половина диагонали четырехугольника) равен предыдущему катету умноженному на тангенс 60 градусов:

AO=OL*tg60град

Отсюда,

OL=3корня из 2/корень 3= корень из 6

MD=2OL, так как OL- средняя линия треугольника DBM, следовательно, MD= 2 корней из 6.

По теореме Пифагора находишь высоту пирамиды:

OM^2= DM^2-OD^2

OM^2=24-18=6

OM=корень из 6

 

ответ: корень из 6.