Высота прямоугольного треугольника делит прямой угол на два угла, один из которых в 4 раза больше другого.найдите острые углы данного треугольника.

  Высота, проведённая из вершины при основании - это высота к боковой стороне треугольника.

   На произвольной прямой циркулем откладываем отрезок АС,  равный заданной длине основания треугольника.  По общепринятой методике строим срединный перпендикуляр этого отрезка, который пересекает его в т.О. АО=CО.  Из т.А чертим окружность, радиус которой равен заданной длине высоты АН. Основание Н высоты будет расположено на построенной окружности. Т.к.высота должна быть перпендикулярна боковой стороне треугольника, на АВ как на диаметре с центром в т.О чертим окружность. Точку ее пересечения с первой окружностью обозначим Н. Угол АНС=90°, т.к. опирается на диаметр.

     Проводим прямую из т. С через т. Н до пересечения со срединным перпендикуляром в т. В. Соединяем точки А и В. Искомый треугольник АВС с заданным основанием АС и высотой АН из вершины А при основании построен. В нем основание АВ равно заданной длине, треугольники АОВ=ВОС по двум катетам, следовательно, АВ=СВ, отрезок АН перпендикулярен боковой стороне и равен длине заданной высоты.

    В зависимости от длины высоты при равном основании  треугольник может получиться как остроугольным, так и тупоугольным, тогда высота из острого угла при основании пересечётся с продолжением боковой стороны.

 Высота, проведённая из вершины при основании, не лежит на срединном перпендикуляре основания,  - это высота к боковой стороне треугольника  

  На произвольной прямой циркулем откладываем отрезок АС,  равный длине основания  треугольника.  По общепринятой методике строим срединный перпендикуляр этого отрезка, который пересекает его в т.О. АО=CО.  Из т.А чертим окружность, радиус которой равен заданной длине высоты АН. Основание Н высоты будет расположено на построенной окружности. Т.к.высота должна быть перпендикулярна боковой стороне треугольника, на АВ как на диаметре с центром в т.О чертим окружность. Точку её пересечения с первой окружностью обозначим Н.  Угол АНС=90°, т.к. опирается на диаметр. Проведём прямую из С через Н до пересечения со срединным перпендикуляром в т. В. Соединяем точки А и В. Искомый треугольник АВС с заданным основанием АС и высотой АН из вершины А при основании построен. В нём основание АВ– заданной длины, треугольники АОВ=ВОС по двум катетам, следовательно, АВ=СВ, отрезок АН перпендикулярен боковой стороне и равен длине заданной высоты.

     В  зависимости от длины высоты  треугольник получится остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, и высота из острого угла при основании может оказаться катетом прямоугольного треугольника или пересечётся с продолжением боковой стороны.