Сторона треугольника равен 39см, 42см, 45см, найти наибольшую из их высот

1)(8+6)62=7 длинна медианы

Очень нечетко сформулированное условие.
При пересечении трех прямых образуется 3 пары равных между собой вертикальных углов.
Так как угол КАМ равен 90°, то значит прямые КL и MN взаимно перпендикулярны.
Поэтому ∠KAN=∠LAN=∠MAL=∠KAM=90°.
Условие "угол КАР: MAQ=4 : 5" дано для того, чтобы знать, как провести прямую PQ. ( cм. рис. 1)
Если PQ проведена так как на рисунке 1, обозначим

∠KAP=4x; ∠MAQ=5x, тогда
∠KAQ=4x-90°;∠MAP=5x-90°;
∠KAQ+∠KAM+∠MAP=180°;
4x-90°+90°+5x-90°=180°.
9x=270°
x=30°
∠KAP=4·30°=120°; ∠MAQ=5·30°=150°;
значит ∠МАР=∠QAN=30°;
 ∠PАL=∠QAK=60° и
∠PАL:∠LАN=60°:90°=2:3
Условие "один из углов 80°" не выполняется.

Если прямая PQ расположена так как на рисунке 2.
Аналогично случаю 1 обозначим
∠KAP=4x; ∠MAQ=5x, получаем невозможное∠KAP=4·30°=120°, а на рисунке угол ∠KAP- острый .
Требуется дополнительное условие.
Оно есть   "один из углов 80°". Какой? 
Если ∠KAP=80°, тогда ∠MAQ=100°
а на рисунке 2, угол ∠MAQ=180°-10°=170°.

Значит, нужен третий рисунок.

∠MAQ=80°,∠MAQ=5x.  х=16°
∠KAP=4x=4·16°=64°
Но тогда не выполняется условие "два других относятся как 2:3".

1.
1) Пусть ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, DC=4 см, AD=6 см.
2) Полную поверхность можно найти по формуле:
Sполн=Sбок+2Sосн.
Sосн=ab=4*6=24 (см²);
Sбок=Pосн*h=2(a+b)h=2*(4+6)h=2*10h=20h;
180=20h+2*24;
20h+48=180;
20h=180-48;
20h=132;
h=6,6.
DD1=6,6 см.
3) Диагональ прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле:
d²=a²+b²+c².
B1D²=DC²+AD²+DD1²=4²+6²+6,6²=16+36+43,56=95,56;
B1D=√95,56=2√23,89 см.
ответ: 2√23,89 см.

2.
1) Для того, чтобы доказать параллельность плоскостей, можно воспользоваться признаком параллельности плоскостей:
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
2) AF∈(AFM), FM∈(AFM), F=AF∩FM.
BK - средняя линия ΔAOF, значит BK║AF,
KD - средняя линия ΔFOM, значит KD║FM,
BK∈(BKD), KD∈(BKD), K=BK∩KD.
Таким образом, AMF║BKD.