Диагональ равнобедренной трапеции делит её острый угол пополам, а среднюю линию - на отрезки длиной 13 и 23 см. найдите площадь трапеции.

Обозначим трапецию АВСД, среднюю линию ЕМ, пересечение ЕМ и АС через О, тогда угол АСВ=углуСАД ( накрест лежащие при параллельных ВС и АД и секущей АС. Тогда треугольник АВС -равнобедренный, а ЕО в нём средняя линия, тогда ВС=АВ=СД=2*13=26. ОМ=23, значит АД=46 (средняя линия треугольника АСД). Проведём СКи ВН высоты, тогда АН=СК=26, КД=(АД-ВС):2=10. Найдём СК из треугольника СКД по т. Пифагора СК=24. Площадь трапеции=ЕМ*СК=24*36=864.

Площадь треугольника АСD по формуле Герона:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр, a,b,c - стороны.
В нашем случае р=14:2=7, тогда S=√(7*1*2*4) = 2√14.
S=(1/2)*h*AD, отсюда высота  треугольника АСD равна
h=2S/AD=(2√14)/3.
Тогда катет HD по Пифагору равен HD=√(CD²-h²)=√(9-56/9)=5/3.
Следовательно, отрезок АН=6-5/3=(18-5)/3=13/3.
По свойству высоты, опущенной из тупого угла на большее основание равнобокой трапеции, отрезок АН равен полусумме оснований трапеции. Тогда ее площадь равна
S=АН*h=(13/3)*(2√14)/3=26√14/9 ≈ 12,1.
ответ: S=26√14/9 ≈ 12,1.

АВСА1В1С1 - усечённая пирамида.
Предложенное сечение - трапеция с основаниями, равными высотам, проведённым в основаниях пирамиды. АМ - высота в тр-ке АВС, ВМ=МС. А1М1 - высота в тр-ке А1В1С1 В1М1=С1М1.
Высота в прямоугольном тр-ке вычисляется по ф-ле h=а√3/2
АМ=8√3·√3/2=12.
А1М1=4√3·√3/2=6.
АММ1А1 - трапеция. Её площадь: S=(a+b)h/2=(АМ+А1М1)h/2 ⇒ 
h=2S/(АМ+А1М1)=2·54/(12+6)=6.
Площадь правильного тр-ка: S=a²√3/4.
S1=(8√3)²·√3/4=48√3.
S2=(4√3)²·√3/4=12√3.
Объём усечённой пирамиды: V=h(S1+√(S1·S2)+S2)/3
V=6(48√3+√(48√3·12√3)+12√3)/3=2(48√3+24√3+12√3)=168√3.