Маленький вопросик. если у прямоугольника диагонали равны, то он ромб? небольшой спор с другом.

Ахахахаахах,вас бы с другом сейчас Пифагор Самосский и Фалес с К.Ф.Гауссом серьёзно обругали.
У ромба диагонали вообще не равны никогда, исключая случай,что он квадрат.(где диагонали,кстати,взаимно перпендикулярны).
Если у параллелограмма(ромб и прямоугольник - частные его случаи) диагонали равны,но не перпендикулярны,то он - прямоугольник.
Как доказать?По равенству из определения параллелограмма о трёх сторонах.Следовательно,треугольники,лежащие по соседству ввиду вертикальных углов,равны по любому из признаков равенства,потому что диагонали параллелограмма делятся пополам точкой пересечения.
А дальше суммарно на бумаге углы складывать и получить 180 при боковой стороне.180\2 - так как треугольники равны(а 180-сумма односторонних,что следует из опр.парал.-ма)=90.

1) Так как в задании не указано конкретное ребро, то приводим расчёт длин всех рёбер.

Например, АВ = √((хВ - хА)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²).

Остальные аналогично.

Векторы  Δx  Δy  Δz  Сум.квадр.  Длины

      АВ  4   -6    4     68       8,246211251

      ВС 0    5   -2     29      5,385164807

      АС 4   -1   2     21      4,582575695

     АД 3    2    7    62      7,874007874

    ВД -1   8    3     74      8,602325267

    СД -1   3   5     35      5,916079783 .

2) Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0  

Подставим данные и упростим выражение:

x - 0    y - 7       z - 1

4 - 0 1 - 7        5 - 1

4 - 0 6 - 7       3 - 1

 = 0

x - 0       y - 7     z - 1

4      -6      4

4       -1      2

 = 0

(x - 0)  -6·2 - 4·(-1)  -  (y - 4)·2 - 4·4  +  (z - 4)·(-1) - (-6)·4  = 0 ,

(-8) x - 0  + 8 y - 7  + 20 z - 1  = 0 ,

 - 8x + 8y + 20z - 76 = 0 ,    разделим на (-4),

2x - 2y - 5z + 19 = 0.

3) Прямая, проходящая через точку Д и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C).

(x -3)/2 = (y - 9)/(-2) = (z - 8)/(-5).

4) Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения AB x AC:

Векторное произведение:

i j k

4 -6 4

4 -1 2   =

=i((-6)·2-(-1)·4) - j(4·2-4·4) + k(4·(-1)-4·(-6)) = -8i + 8j + 20k

S = (1/2)√((-8)² + 8² + 20²) = (1/2)√528 ≈ 11,489.

5) V = (1/6)*(AB x AC) * AD.

Определитель матрицы равен:

∆ = 4*((-1)*7-2*2)-4*((-6)*7-2*4)+3*((-6)*2-(-1)*4) = 132.

Тогда V = 132/6 = 22 куб.ед.

1 см, 2 см, 3 см.  

Объяснение:

Пусть а, b и с - это длины рёбер.

Тогда:

а*b = 2 - уравнение 1;

b*c = 3 - уравнение 2;

а*с = 6 - уравнение 3.

Из второго уравнения следует, что:

b = 3/c.

Из третьего уравнения:

а = 6/с.

Подставляем полученные выражения а и b в первое уравнение:

6/с * 3/c = 2

18/с² = 2

2с² =18

с² = 9

с = 3.

Тогда из третьего уравнения следует, что

а = 6 : 3 = 2.

Из второго уравнения следует, что

b = 3 ^ 3 = 1.

Проверка:

а*b = 2*1=2 - соответствует условию задачи;

b*c = 1*3=3 - соответствует условию задачи;

а*с = 2*3=6 - соответствует условию задачи.

ответ:  1 см, 2 см, 3 см.